Otimização/Existência de soluções globais

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Teorema de Weierstrass

Seja $f:D\to ℝ$ contínua em D compacto.

Então $M(f,D)≠\mathrm{\varnothing }$

Suponha que f é ilimitada inferiormente, então $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{x}^k\in D;f(x^k)<-k\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x^k)=-\mathrm{\infty }$. Por outro lado, D é compacto e $\{x^k\}\subset D$. Como D é limitado, logo a $\{x^k\}$ é limitada. Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. Assim $\{x^k\}$ possui uma subsequência convergênte $\{x^{k_j}\}$, tal que $\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{k_j}=\overline{x}$. Assim $f(\overline{x})=f(\underset{j\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^{k_j})=-\mathrm{\infty }$. Absurdo.

$\overline{v}=\underset{x\in D}{inf}f(x)>-\mathrm{\infty }$, pela definição de ínfimo, dado $k\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{x}^k\in D$ tal que $\overline{v}\le f(x^k)<\overline{v}+\frac{1}{k}\Rightarrow \overline{v}\le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x^k)\le \overline{v}\Rightarrow \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x^k)=\overline{v}$.

Curva de nível $L_{f,D}(c)$

Corolário da curva de nível compacta

Sejam $D\in {ℝ}^n,f:D\to ℝ$ contínua em D. Se $\mathrm{\exists }c\in ℝ,\mathrm{\varnothing }≠$ $L_{f,D}(c)$ é compacto.

Então $M(f,D)≠\mathrm{\varnothing }$

Prova: Pelo Teorema de Weierstrass $M(f,D)≠\mathrm{\varnothing }$, isto é, $\mathrm{\exists }\overline{x}\in D;f(\overline{x})\le f(x),\mathrm{\forall }x\in$ $L_{f,D}(c)$).

Mas se $x\in D\setminus$ $L_{f,D}(c)$ $\Rightarrow f(x)>c\ge f(\overline{x})$. Assim $f(\overline{x})\le f(x),\mathrm{\forall }x\in D$, isto é, $M(f,D)≠\mathrm{\varnothing }$.

Projeção de y sobre D

Corolário da projeção de y sobre D

$\mathrm{\varnothing }≠D\in {ℝ}^n$ é fechado.

Então $P_D(y)≠\mathrm{\varnothing },\mathrm{\forall }y\in {ℝ}^n$

Tome $y\in {ℝ}^{n}e{f}_y:D\to ℝ;x\mapsto f_y(x)=\Vert x-y\Vert$. É facil ver que $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$. Agora dado $ϵ>0,\mathrm{\exists }\delta =ϵ,\Vert x-y\Vert <\delta \Rightarrow |\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |<ϵ$. Assim $f_y$ é contínua.

Por outro lado, $L_{f_y,D}(c)=\{x\in D/f_y(x)\le c\}=\{x\in D/\Vert x-y\Vert \le c\}=D\cap B_c(y)$. Visto que $D,B_c(y)$ são fechados, temos que $D\cap B_c(y)$ é também fechado. Além disso, sendo $B_c(y)$ limitado, segue que $D\cap B_c(y)\subset B_c(y)$ é também limitado e conseqüentemente compacto. Como $L_{f_y,D}(c)=D\cap B_c(y)\Rightarrow L_{f_y,D}(c)$ é compacto.

Vimos que $f_y$ é contínua e $L_{f_y,D}(c)$ é compacto.. Tomando-se $c\in ℝ$ suficientemente grande, de tal forma que $L_{f_y,D}(c)≠\mathrm{\varnothing }$. Pelo corolário da curva de nível, $M(f_y,D)$ $≠\mathrm{\varnothing }$.

Mas $M(f_y,D)$ $=\{\overline{x}\in D/f_y(\overline{x})\le f_y(x),\mathrm{\forall }x\in D\}=\{\overline{x}\in D/\Vert \overline{x}-y\Vert \le \Vert x-y\Vert ,\mathrm{\forall }x\in D\}=$

$=\{\overline{x}\in D/\underset{x\in D}{inf}\Vert x-y\Vert =\Vert \overline{x}-y\Vert \}=P_D(y)≠\mathrm{\varnothing }$

Exemplo

Seja $D=\{x\in {ℝ}^n|x_1+x_2>0\}$ e $f:D\to ℝ,f(x)=x_1^2+x_2+\frac{1}{x_1+x_2}$

Mostrar que $M(f,D)≠\mathrm{\varnothing }$.

Suponhamos que $L_{f,D}(c)$ é ilimitado para um $c\in ℝ\Rightarrow \mathrm{\exists }\{x^k\}\subset L_{f,D}(c)$ tal que $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x^k\Vert$. Se $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_1^k\Vert$, isto é, dado $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_1^k\Vert$. (...)

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