Análise real/Continuidade

Agora que definimos o limite de uma função, estamos prontos para definir o que significa para uma função ser contínua. A noção de Continuidade captura a intuitiva imagem de uma função "sem oscilações bruscas ou saltos". Veremos alguns exemplos de funções descontínuas que ilustram o significado da definição. A idéia de funções contínuas é encontrada em várias áreas da matemática, além de análise real.

Definição (Continuidade em um Ponto)

Seja $A\subseteq ℝ$; $f:A\to ℝ$; $c\in A$; Dizemos que $f(x)$ é contínua em $c$ se, e somente se, para todo $ϵ>0$, existe um $\delta >0$ tal que:

• $x\in A,|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<ϵ$

Definição (Continuidade em um Conjunto)

Seja $A\subset D\subseteq ℝ$; $f:A\to ℝ$; $c\in A$;. Dizemos que $f$ é contínua em $A$ se $f$ é contínua em $c$, para todo $c\in A$.

Dizemos que $f$ em si é contínua, se esta condição vale para todos os pontos em $A$.

Se $A$ é uma união de intervalos, a declaração é equivalente a dizer que $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=f(c)$.

Exemplos

• A função identidade $f(x)=x$ é contínua em toda a reta. De fato, dado $ϵ>0$ e $x_0$ real, tomando $\delta =ϵ$, temos que, se $|x-x_0|<\delta =ϵ$.

• A função quadrado $f(x)=x^2$ também é contínua em toda a reta.

Demonstração

Dado $ϵ>0$, e $x_0$ real, temos

$|x^2-(x_0{)}^2|=|x+x_0||x-x_0|$.

Como estamos trabalhando com $x$ próximo de $x_0$, temos

$|x+x_0|<C$, para algum $C$ real.

Definindo $\delta =ϵ/C$, se

$|x-x_0|<\delta \Rightarrow |x-x_0|<ϵ/C\Rightarrow |x+x_0||x-x_0|<C|x-x_0|<ϵ$.

Portanto $f$ é contínua em $x_0$, para todo $x_0$ real.

• A função $f(x)=x^n$ é contínua em toda a reta para qualquer natural n.

Demonstração

Fixemos um ponto $x_0\in ℝ$ e $\epsilon >0$, e procedemos com a fatoração da potência:

$f(x)-f(x_0)=x^n-x_0^n=(x-x_0)\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k{x}_0^{n-k-1}$

Definamos, agora,

$\delta =\min [\frac{\epsilon }{n(|x_0|+1{)}^{n-1}},1]$

Por definição, $\delta \le 1$, portanto, se $|x-x_0|<\delta$, temos:

$|x|=|x_0+(x-x_0)|\le |x_0|+|x-x_0|\le |x_0|+\delta \le |x_0|+1$

Assim:

$|f(x)-f(x_0)|=|(x-x_0)\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k{x}_0^{n-k-1}|\le \delta \sum _{k=0}^{n-1}|x^k|\cdot |x_0{|}^{n-k-1}\le \epsilon$

Proposição (Operações com funções Contínuas)

Sejam $f,g:D\subset ℝ\to ℝ$ funções contínuas e $\lambda$ um número real, então valem as seguintes propriedades:

• $f+g$ é contínua;
• $fg$ é contínua;
• $\lambda f$ é contínua;
• $f/g$ é contínua em todos os pontos onde $g$ não se anula.

Descontinuidade

Podemos usar limites seqüenciais para provar que funções são descontínuas da seguinte forma:

• $f(x)$ é descontínua em $c$ se, e somente se, houver duas seqüências $(x_n)\to c$ e $(y_n)\to c$ tal que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(x_n))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(f(y_n))$.

Composição

Outro resultado que nos permitirá construir muitos exemplos de funções contínuas é que qualquer composição de funções contínuas em si é contínuo:

Teorema

Se $f:B\to ℝ$ e $g:A\mapsto B$ são contínuas, então a composição $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ é contínua sobre A.

Prova

Seja $ϵ>0$; $c\in A$.

Uma vez que f é contínua, $\mathrm{\exists }{\delta }_1>0:|x-c|<{\delta }_1⟹|f(x)-f(c)|<ϵ$.

Desde que g é contínua, $\mathrm{\exists }{\delta }_2>0:|x-c|<{\delta }_2⟹|g(x)-g(c)|<{\delta }_1$.

Assim $|x-c|<{\delta }_2⟹|g(x)-g(c)|<{\delta }_1⟹|f(g(x))-f(g(c))|<ϵ$, por isso $(f\circ g)(x)$ é contínua sobre A.

O Teorema do Valor Intermediário

Este é o grande teorema sobre continuidade. Basicamente ele diz que funções contínuas não tem interrupções bruscas ou saltos.

Teorema (do Valor Intermediário)

Seja f(x) uma função contínua. Se $a<b$ e $f(a)<m<f(b)$, então $\mathrm{\exists }c\in (a,b):f(c)=M$.

Prova

Seja $S=\{x\in (a,b):f(x)<m\}$, e seja $c=\sup S$.

Seja $ϵ=|f(c)-m|$. Pela continuidade, $\mathrm{\exists }\delta :|x-c|<\delta ⟹|f(x)-f(c)|<ϵ$.

Se f(c) < m, então $|f(c+\frac{\delta }{2})-f(c)|<ϵ$, por isso $f(c+\frac{\delta }{2})<f(c)+ϵ=m$. Mas então $c+\frac{\delta }{2}\in S$, o que implica que c não é um limite superior para S, uma contradição.

Se f(c) > m, desde então $c=\sup S$, $\mathrm{\exists }x:x\in S,c>x>c-\delta$. Mas desde que $|x-c|<\delta ,|f(x)-f(c)|<ϵ$, por isso $f(x)>f(c)-ϵ$ = m, o que implica que $x\notin S$, uma contradição. $◻$

Iremos provar agora o Teorema Mínimo-Máximo, que é um outro resultado importante que está relacionada com a continuidade. Essencialmente, ela diz que qualquer imagem contínua de um intervalo fechado é limitada, e também que ele atinge esses limites.

Teorema Mínimo-Máximo

Seja $f:[a,b]\to ℝ$ contínuo

Então
(i)$f([a,b])$ é limitado

(ii)Se $M,m$ são respectivamente o limite superior e inferior do $f([a,b])$, então existem $c,d\in [a,b]$ tais que $f(c)=M,f(d)=m$

Prova

(i)Suponhamos que, se possível $f$ é ilimitado.

Seja $x_1=\frac{a+b}{2}$. Em seguida, $f$ é ilimitado em pelo menos um dos intervalos fechados $[a,x_1]$ e $[x_1,b]$ (para outra, $f$ seria ilimitada sobre $[a,b]$ contradizendo a hipótese). Chamar este intervalo $I_1$.

Similarmente, partindo $I_1$ em dois intervalos fechados e deixar $I_2$ ser um dos quais $f$ é ilimitado.

Assim sendo, temos uma seqüência de intervalos fechados adjacentes $[a,b]\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq \dots$ tais que $f$ é ilimitada sobre cada um deles.

Sabemos que a intersecção de uma seqüência de intervalos fechados adjacentes é não vazio. Daí, seja $x_0\in I_1\cap I_2\cap \dots$

Como $f(x)$ é contínua em $x=x_0$, existe $\delta >0$ tal que $x\in V_{\delta }(x_0)⟹f(x)\in (f(x_0)-1,f(x_0)+1)$ Mas, por definição, existe sempre $k\in \mathbb{N}$ tal que $I_k\subseteq V_{\delta }(x_0)$, contradizendo a hipótese de que $f$ é ilimitado sobre $I_k$. Assim, $f$ é limitada sobre $[a,b]$

(ii) Considere-se, se possível, $M=\sup (f([a,b]))$ mas $M\notin f([a,b])$.

Considere a função $g(x)=\frac{1}{M-f(x)}$. Pela propriedade algébricas de continuidade, $g:[a,b]\to ℝ$ é contínuo. No entanto, $M$ sendo um ponto relativo de $f([a,b])$, $g(x)$ é ilimitado sobre $[a,b]$, contradizendo (i). Daí, $M\in f([a,b])$. Da mesma forma, podemos mostrar que $m\in f([a,b])$.

Uso Geral

Como se referiu, a ideia de funções contínuas é utilizado em várias áreas da matemática, mais notavelmente na Topologia. A caracterização diferente de continuidade é útil em tais situações.

Teorema

Seja $A\subseteq ℝ$
Seja $f:A\to ℝ$

$f(x)$ é contínua em $x=c$ se, e somente se, para cada vizinhança aberta $V$ de $f(x)$, existe uma vizinhança aberta $U$ de $x$ tal que $U\subseteq f^{-1}(V)$

Deve ser mencionado aqui que o termo "Conjunto aberto" pode ser definido em geral muito mais do que o conjunto de definições reais ou mesmo espaços métricos, e daí a utilidade desta caracterização.

Continuidade uniforme

Seja $A\subseteq ℝ$
Seja $f:A\to ℝ$

Dizemos que $f$ é uniformemente contínua sobre $A$ se, e somente se, para cada $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que, se $x,y\in A$ e $|x-y|<\delta$ então $|f(x)-f(y)|<\epsilon$

Ver também

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