Análise real/Sequências

Definição

Uma sequência de números reais é uma função $s : ℕ \to ℝ$ que associa cada número natural a um número real. A notação usual para representar uma sequência é $(s_{n})_{n \in ℕ},$ quando não houver ambiguidade também pode-se escrever apenas $(s_{n}) .$ Para se referir a um termo específico da sequência, a notação é $s_{n},$ ao invés de s(n). Uma outra forma muito comum de dar exemplos de sequências é listando os primeiros elementos (como um conjunto), seguido de "...", de forma que a regra de formação seja óbvia. Vamos observar que em todo livro estaremos considerando que o conjunto dos naturais $ℕ = {1, 2, 3, \dots}$ .

Exemplos:

A sequência dos números naturais $s : ℕ \to R$ dada por $s_{n} = n, \forall n \in ℕ$ ou mais simplesmente $(n)_{n \in ℕ} .$
A sequência de fibonacci $s_{1} = 1, s_{2} = 1, s_{n} = s_{n - 1} + s_{n - 2}, \forall n \in ℕ,$ com $n \geq 2 .$
$s_{n} = \frac{1}{n}, \forall n \in ℕ,$ com $n \geq 1,$ ou mais simplesmente $(\frac{1}{n})_{n \in ℕ} .$
A sequência ${1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, . . .}$ é uma forma de representar $s_{1} = \frac{1}{1^{2}}, s_{2} = \frac{1}{2^{2}}, s_{3} = \frac{1}{3^{2}}, s_{4} = \frac{1}{4^{2}}, \dots$ ou seja, $s_{n} = \frac{1}{n^{2}}$

Faremos o uso da [[../Os números reais#Definição (Ponto em um intervalo)|equivalência]] de ponto em um intervalo.

Classificação das sequências

Algumas propriedades das sequências são tão importantes que elas recebem nomes especiais. Uma sequência $(a_{n})_{n \in ℕ}$ é dita:

estritamente crescente se $\forall n \in ℕ : a_{n} < a_{n + 1};$
não-decrescente se $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq a_{n + 1};$
estritamente decrescente se $\forall n \in ℕ : a_{n} > a_{n + 1};$
não-crescente se $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq a_{n + 1};$
monótona se a sequência satisfaz alguma das propriedades acima (i.é. se ela é não-decrescente ou não-crescente);
estritamente monótona se ela é ou estritamente crescente ou estritamente decrescente;
limitada superiormente se existe $M \in ℝ$ tal que $\forall n \in ℕ : a_{n} \leq M;$
limitada inferiormente se existe $m \in ℝ$ tal que $\forall n \in ℕ : a_{n} \geq m;$
limitada se ela é limitada superior e inferiormente, ou seja, se $\exists M, m \in ℝ$ tal que $m \leq a_{n} \leq M;$
ilimitada quando ela não é limitada nem superior e nem inferiormente;
Cauchy se $\forall ϵ > 0, \exists n_{0} | \forall n, m > n_{0} \Rightarrow | a_{m} - a_{n} | < ϵ;$

Propriedades de uma sequência

Convergência de uma sequência

Dizemos que uma sequência $(a_{n})$ converge para o número real $a$ quando, qualquer que seja $ϵ > 0$ dado, $\exists n_{0} \in ℕ$ tal que, se $n > n_{0},$ então $| a_{n} - a | < ϵ .$ Para dizer que $(a_{n})$ converge para $a,$ normalmente escrevemos $(a_{n}) \to a,$ ou $\lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ ou apenas $\lim a_{n} = a,$ quando não houver dúvida que o limite trata de $n$ tendendo ao infinito. Em outras palavras, a sequência $(a_{n})$ fica arbitrariamente próxima de $a$ desde que se tome um $n$ suficientemente grande.

Exemplos

A sequência $(1 / n)_{n \in ℕ}$ converge para $0 .$ De fato, dado $ϵ > 0,$ pela propriedade arquimediana da reta real, existe $n_{0} \in ℕ$ tal que $n_{0} > \frac{1}{ϵ},$ portanto $- ϵ < 0 < 1 / n_{0} < ϵ .$ Logo $| 1 / n_{0} - 0 | < ϵ$ e concluimos que $(1 / n) \to 0 .$

Divergência de uma sequência

Uma sequência que não é convergente é dita divergente. A divergência geralmente ocorre por dois motivos: A sequência não é limitada ou possui duas subsequências convergindo para valores diferentes.

Proposição (unicidade do limite)

Uma pergunta muito natural de se fazer: a definição de convergência é precisa? Intuitivamente sabemos o que significa uma sequência convergir para um número, mas agora precisamos saber se a definição formal não permite que exista mais de um limite. Ou seja, queremos provar que, se uma sequência converge, então o limite é único.

Demonstração

Seja $(x_{n})$ uma sequência de números reais convergente com $x = \lim x_{n} .$ Suponha que $y \in R$ seja tal que $y = \lim x_{n},$ queremos mostrar que $x = y$ .
Suponha, por absurdo, que $x = y,$ então $| x - y | > 0$ . Tomemos então $ϵ = \frac{| x - y |}{2}$ .(3)
Por um lado, $(x_{n}) \to x,$ assim $\forall ϵ > 0, \exists n_{1} \in ℕ$ tal que $n > n_{1} \Rightarrow | x_{n} - x | < ϵ$ .(4)
Por outro lado $(x_{n}) \to y,$ logo $\forall ϵ > 0, \exists n_{2} \in ℕ$ tal que $n > n_{2} \Rightarrow | x_{n} - y | < ϵ$ .(5)
Tome $n_{0} = m a x {n_{1}, n_{2}}$ para garantir que os termos da sequência satisfaçam a convergência tanto para x, como para y. Assim $n > n_{0} \Rightarrow \forall n \in ℕ, n > n_{1} e n > n_{2} \Rightarrow_{(4), (5)} | x_{n} - x |, | x_{n} - y | < ϵ$ (2)
Contudo |x−y|=|x−xn+xn−y|≤(1)|x−xn|+|xn−y|<(2)ϵ+ϵ=2ϵ=(3)|x−y|.
- (1) pela desigualdade triangular
Mas é um absurdo concluir que $| x - y | < | x - y |$ . Portanto foi um absurdo ter suposto que $x \neq y$ . Então podemos concluir que x=y.

Proposição

Essa proposição nos diz que se uma sequência converge para um limite a, então dados b e c reais, tais que b<a<c então a partir de um certo termo da sequência $n_{0}$ todos os termos estarão no intervalo (b,c).

Seja $a = \lim a_{n}, b \in ℝ$ , logo:

Se $a < b$ ( resp. $a > b$ ), então existe $n_{0} \in ℕ$ tal que $n > n_{0} \Rightarrow a_{n} < b (r e s p . a_{n} > b)$ .
Se $a_{n} \geq b (r e s p . a_{n} \leq b), \forall n \in ℕ$ , então $a \geq b (r e s p . a \leq b)$ .

Demonstração

Tome $a < b (\Rightarrow b - a > 0) e ϵ = b - a$ (1), logo $\exists n_{0} \in ℕ$ tal que $n > n_{0} \Rightarrow | a_{n} - a | < ϵ \Rightarrow_{(1)} - (b - a) < a_{n} - a < b - a \Rightarrow a_{n} < b, \forall n \in ℕ$ .
O segundo resultado resulta da contraposição do primeiro.

Proposição

Toda sequência convergente é limitada.

Demonstração

Seja $\lim a_{n} = a$ , assim para $ϵ = 1, \exists n_{0} \in ℕ$ tal que $n > n_{0} \Rightarrow | a_{n} - a | < 1 .$ Além disso, o conjunto $X = {a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n_{0}}, a - 1, a + 1}$ é finito, não-vazio e limitado, então existe $A = \min X$ e $B = \max X,$ . Tome $L = \max {| A |, | B |,} \Rightarrow - L < A < B < L$ . Como temos que $A \leq x_{n} \leq B \Rightarrow - L \leq x_{n} \leq L \Rightarrow | x_{n} | \leq L$ para todo $n \in ℕ .$

Proposição (operações com sequências)

Dadas duas sequências $(a_{n})$ e $(b_{n})$ convergentes, com $a = \lim a_{n}$ e $b = \lim b_{n}$ e um número real $λ,$ então valem as seguintes propriedades:

$(a_{n} + b_{n}) \to a + b;$
$(a_{n} b_{n}) \to a b;$
$(λ a_{n}) \to λ a;$

Se $b_{n} = 0, \forall n \in ℕ,$ e $b = 0,$ então:

$(\frac{a_{n}}{b_{n}}) \to \frac{a}{b} .$

Demonstração

Vamos demonstrar a primeira das propriedades. Dado $ϵ > 0,$ existem $n_{a}, n_{b}$ naturais tais que, se $n > n_{a}, n_{b}$ então $| a_{n} - a | < \frac{ϵ}{2}$ e $| b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} .$

Portanto, se $n_{0} = m a x {n_{a}, n_{b}}$ e $n > n_{0},$ então $| (a_{n} + b_{n}) - (a + b) | = | (a_{n} - a) + (b_{n} - b) | \leq | a_{n} - a | + | b_{n} - b | < \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2} = ϵ .$ Logo $(a_{n} + b_{n}) \to a + b .$

As outras propriedades ficam de exercício para o leitor.

Proposição

Se $a_{n} \to 0, b_{n} é limitada,$ então $a_{n} \cdot b_{n} \to 0;$

Demonstração

Como b_n é uma sequência limitada, temos que existe B > 0 tal que |b_n| < B para todo n.

Então, dado ε > 0, temos que $\frac{ϵ}{B} > 0 .$ Como a_n é uma sequência que converge para 0, existe n₀ tal que, para todo n > n₀, |a_n - 0| < ε / B.

Finalmente, fazendo as contas, temos que |a_n b_n - 0| < |a_n| |b_n| < (ε / B) . B = ε.

Ou seja, para todo ε > 0, encontramos n₀ tal que para todo n > n₀, |a_n b_n - 0| < ε - precisamente a definição de limite.

Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Toda sequência de números reais monótona limitada converge.

Demonstração

Vamos demonstrar que toda sequência não-decrescente, limitada superiormente, é convergente. Fica como exercício para o leitor adaptar a demonstração para outros tipos de sequências monótonas.

Seja $(a_{n})_{n \in ℕ}$ uma sequência não-decrescente limitada superiormente. Isto é, $a_{n} \leq a_{m}$ se $n < m$ e existe $M \in ℝ$ tal que $a_{n} < M,$ para todo $n \in ℕ .$ Desta forma, o conjunto $A = {a_{n} : n \in ℕ}$ é um conjunto de número reais, não vazio e limitado superiormente, então $A$ tem supremo. Seja $a = s u p A,$ vou mostrar que $(a_{n}) \to a .$ Como $a = s u p A,$ qualquer que seja $ϵ > 0, a - ϵ$ não é o supremo de $A,$ então existe $a_{n_{0}} \in A$ com $a - ϵ \leq a_{n_{0}} \leq a .$ Como a sequência $(a_{n})$ é não-decrescente, se $n \geq n_{0},$ temos $a - ϵ \leq a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq a,$ sendo a o supremo de $A,$ podemos ainda acrescentar uma relação à desigualdade, temos então $a - ϵ \leq a_{n_{0}} \leq a_{n} \leq a \leq a + ϵ,$ que significa que, se $n \geq n_{0}$ então $| a - a_{n} | < ϵ .$ Que é exatamente a definição de convergência de sequências, então $(a_{n}) \to a .$

Proposição

Toda sequência monótona converge se possui uma subsequência convergente

Demonstração

Lema

Sejam $(a_{n})$ uma sequência em $ℝ$ convergente para $a .$

Se $a > 0,$ então $\exists n_{0} \in ℕ; n > n_{0} \Rightarrow a_{n} > 0$
Se $a_{n} > 0, \forall n \in ℕ,$ então $a \geq 0 .$

Demonstração

(1)Seja $ϵ = a$ , então existe $n_{0} \in ℕ$ tal que $\forall n \geq n_{0} ⟹ | a_{n} - a | < a ⟹ - a < a_{n} - a < a$ . Somando $a$ a todos os lados da desigualdade temos que $0 < a_{n} < 2 a ⟹ a_{n} > 0 \forall n \geq n_{0}$
(2)Dado $ϵ > 0, \exists n_{0}$ tal que $n > n_{0} \Rightarrow a - ϵ < a_{n} < a + ϵ .$ Como $a_{n} > 0,$ temos $0 < a_{n} < a + ϵ$ e portanto $0 < a + ϵ$ e consequentemente $0 \leq a .$

Proposição

Sejam $(a_{n})$ e $(b_{n})$ duas sequências em $ℝ$ convergentes, com $a = \lim a_{n}$ e $b = \lim b_{n} .$

Se $a_{n} < b_{n},$ para todo $n$ natural, então $a \leq b .$
Se $a \leq b_{n}, \forall n,$ então $a \leq b$

Demonstração

(1)Se $a_{n} < b_{n},$ para todo $n$ natural, então $0 < b_{n} - a_{n},$ para todo $n$ e, pelo lema anterior, $0 \leq \lim (b_{n} - a_{n}) = \lim b_{n} - \lim a_{n}$ e portanto $\lim a_{n} \leq \lim b_{n} .$

$(1) \Rightarrow (2)$ Seja $a_{n} = a (c o n s t a n t e), \forall n .$

Teorema (do confronto)

Sejam $(a_{n}), (b_{n}) e (c_{n})$ sequências em $ℝ .$ Se $\lim a_{n} = \lim b_{n}$ e $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n},$ para todo $n$ então $\exists \lim c_{n}$ e $\lim c_{n} = \lim a_{n} = \lim b_{n} .$

Demonstração

Seja $c = \lim a_{n}$ e $ϵ > 0$ dado.

Por um lado, como $c = \lim a_{n},$ existe $n_{a} \in ℕ$ tal que, se $n > n_{a}$ então $c - ϵ < a_{n} < c + ϵ .$

Por outro lado, como também temos que, como $c = \lim b_{n}$ existe $n_{b} \in ℕ$ tal que, se $n > n_{b}$ então $c - ϵ < b_{n} < c + ϵ .$

Pela desigualdade $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n},$ se $n > \max {n_{a}, n_{b}}$ então $c - ϵ < a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n} < c + ϵ .$

Logo $c = \lim c_{n} .$

Subsequências

Uma subsequência de uma sequência $(a_{n})_{n \in ℕ}$ é uma função $s : ℕ^{'} \to ℝ,$ onde $ℕ^{'} \subset ℕ$ e $ℕ^{'}$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é $(a_{n})_{n \in ℕ^{'}} .$

Como $ℕ^{'}$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como ${n_{1}, n_{2}, . . ., n_{k}, . .},$ e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que $n_{i} < n_{j},$ se $i < j .$ Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo $(a_{n_{k}})_{k \in ℕ} .$ Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.

Proposição (convergência de subsequências)

Toda subsequência de uma sequência convergente é convergente.

Demonstração

Seja $(a_{n})$ uma sequência convergente para $a$ e $(a_{n_{k}})$ uma subsequência de $(a_{n}) .$ Como $(a_{n}) \to a,$ dado $ϵ > 0,$ existe $n_{0}$ tal que, se $n > n_{0},$ então $| a_{n} - a | < ϵ .$ Em especial, se $n_{k} > n_{0},$ temos $| a_{n_{k}} - a | < ϵ .$ Logo $(a_{n_{k}}) \to a .$

Proposição (divergência de subsequências)

Se uma sequência possui duas subsequências convergindo para valores distintos então a sequência é divergente.

Proposição

Toda sequência limitada, possui uma subsequência convergente

Valor de aderência

Definição(Valor de aderência): $a$ é "valor de aderência" de uma sequência $(a_{n})$ se, e somente se, $a$ é limite de alguma das subsequências de $(a_{n})$ se, e somente se, $\forall ϵ > 0, \exists n_{0} \in ℕ; n > n_{0} \Rightarrow a_{n} \in (a - ϵ, a + ϵ) .$

Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Seja $a_{n}$ uma sequência limitada.

Se a sequência $a_{n}$ é convergente, então o valor de aderência é único
Se a sequência $a_{n}$ possui duas subsequências convergente, convergindo para a e b, com a<b então para índices suficientemente grandes $a_{n} \in (a - ϵ, b + ϵ)$
Se a sequência $a_{n}$ possui n+2 subsequências convergindo para $a, c_{1}, . . ., c_{n}, b c o m a < c_{i} < b, i = 1, 2, . . ., n .$ Então a e b são o menor e maior valor de aderência e $c_{i} \in (a + ϵ, b - ϵ), i = 1, 2, . . ., n$
Se $b_{n} \to a, c_{n} \to b$ subsequências de $a_{n}$ que possuem menor e o maior valor de aderência respectivamente, então $b_{n}, c_{n}$ são monótonas e $b_{n}$ é crescente ou não-decrescente e $c_{n}$ é decrescente ou não-crescente

Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)

(1) $a_{n} \to a \Rightarrow a_{n}$ possui uma subsequência convergindo para a. Por definição a é valor de aderência. Como $a_{n}$ é convergente, não existe outra subsequência convergindo para outro valor diferente de a. Logo a é o único valor de aderência.
(2) Temos n>n1⇒an∈(a−ϵ,a+ϵ)en>n2⇒an∈(b−ϵ,b+ϵ).
- Também $a - ϵ < a < b < b + ϵ \Rightarrow n > n_{0} = m a x {n_{1}, n_{2}}, c o m a_{n} \in (a - ϵ, b + ϵ)$
(3)Seja cj≤ci≤ck,i=1,2,...,n. Temos n>nj⇒an∈(cj−ϵ,cj+ϵ). Tome n>nk⇒an∈(ck−ϵ,ck+ϵ)⇒n>n0*=max⁡{nj,nk},coman∈(cj−ϵ,ck+ϵ).
- $a + ϵ < c_{j} < c_{k} < b - ϵ \Rightarrow a < c_{j} - ϵ < c_{k} + ϵ < b$
- $c_{i} \in [c_{j}, c_{k}] \subset (c_{j} - ϵ < c_{k} + ϵ) \subset (a, b)$ e $c_{i} \in [c_{j}, c_{k}] \subset (a + ϵ, b - ϵ) \subset (a, b)$
(4) por (2) é verdade que n>n0=max{n1,n2}⇒an∈(a−ϵ,b+ϵ). Mas não pode existir bn,cn∈(a+ϵ,b−ϵ)comn>n0(Sendoϵ<a+b2)
- $\exists b_{j} \geq c_{i}, \forall i, j \in ℕ \Rightarrow b_{i} < c_{j}, \forall i, j \in ℕ$
- Se $b_{n}$ fosse decrescente ou não-crescente, teríamos $b_{n} \in [a, a + ϵ) .$ Como $n > n_{0} \Rightarrow b_{n} \in (a, b + ϵ), a s s i m b < b_{i}$ para algum $b_{i} .$ (contradição). Da mesma forma fazemos com $c_{n}$

sequências de Cauchy

Uma classe muito importante de sequências são as sequências de Cauchy, que são muito importantes não só para a Análise Real, mas também para a Análise Matemática e Topologia.

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy

Demonstração

Seja $(a_{n})$ uma sequência convergente para um ponto $a .$ Como $(a_{n})$ converge para $a,$ qualquer que seja $ϵ > 0,$ existe $n_{0}$ tal que, se $n > n_{0},$ então $| a_{n} - a | < ϵ / 2 .$ Portanto, se $n, m > n_{0},$ então $| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - a | + | a_{m} - a | < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ .$ Portanto $(a_{n})$ é de Cauchy.

Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Se $(x_{n})$ é uma sequência de números reais de Cauchy, então existem $m, M$ reais tais que $m \leq x_{n} \leq M,$ para todo n natural.

Demonstração

Como $(x_{n})$ é uma sequência de Cauchy, dado $ϵ > 0,$ existe $n_{0}$ natural tal que, se $n, m > n_{0},$ então $| x_{n} - x_{m} | < ϵ,$ portanto $| x_{n} - x_{n_{0} + 1}) | < ϵ,$ de onde concluimos que $x_{n} \in (x_{n_{0} + 1} - ϵ, x_{n_{0} + 1} + ϵ) .$

Como ${x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n_{0}}}$ é um conjunto finito, sabemos que ele tem maior e menor elemento, então podemos definir $s = m i n {x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n_{0}}}, S = m a x {x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n_{0}}},$ Desta forma definindo $m = m i n {s, x_{n_{0} + 1} - ϵ}$ e $M = m a x {S, x_{n_{0} + 1} + ϵ},$ temos que $m \leq x_{n} \leq M,$ para todo $n$ natural. Como queríamos.

Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Se $(a_{n})$ em $ℝ$ é uma sequência de Cauchy com subsequência $(a_{n_{k}})$ convergente para $a,$ então $(a_{n})$ converge para $a .$

Demonstração

Dado $ϵ > 0,$ como $(a_{n_{k}})$ converge para $a,$ existe $n_{k_{0}}$ tal que se $n_{k} \geq n_{k_{0}},$ então $| a - a_{n_{k}} | < ϵ / 2 .$ Como $(a_{n})$ é Cauchy, existe $n_{0} > 0 t a l q u e n, m \geq n_{0},$ então $| a_{m} - a_{n} | < ϵ / 2 .$ Tome agora $n_{k_{1}} = \max (n_{k_{0}}, n_{0})$ . Assim, pela desigualdade triangular, se $n > n_{k_{1}},$ então $| a - a_{n} | \leq | a - a_{n_{k_{1}}} | + | a_{n_{k_{1}}} + a_{n} | \leq ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ .$

Lema: toda sequência tem subsequência monótona

Demonstração

Seja $(a_{n})$ uma sequência qualquer e considere o conjunto $B = {a_{n} : a_{n} \leq a_{k}, \forall k \in ℕ, k > n} .$ Se $B$ for infinito, então $(a_{n})$ tem subsequência não decrescente, caso contrário $(a_{n})$ tem subsequência decrescente.

Teorema: toda sequência real de Cauchy converge

Demonstração:

Se $(a_{n})$ é uma sequência de Cauchy, pelo lema anterior, existe uma subsequência $(a_{n_{k}})$ monótona. Como $(a_{n})$ é Cauchy, $(a_{n})$ é limitada e portanto a subsequência $(a_{n_{k}})$ também é limitada. Como toda sequência real monótona limitada converge, temos que $(a_{n_{k}})$ converge, logo $(a_{n})$ converge também, pois tem subsequência convergente. Concluímos que toda sequência real de Cauchy converge.

Os números reais não são enumeráveis

Vimos, em um capítulo anterior ([[../Enumerabilidade|Enumerabilidade]]) que existem conjuntos enumeráveis e conjuntos que não são enumeráveis. A prova será feita agora; mais especificamente, mostraremos que o intervalo fechado [0, 1] não é enumerável (o resultado para $ℝ$ é imediato, pois $[0, 1] \subseteq ℝ$ ).

Seja portanto $s : ℕ \to [0, 1]$ uma sequência qualquer de números reais entre zero e um.

Vamos construir uma sequência de intervalos, por indução finita, definindo:

$I_{0} = [0, 1]$
Seja $I_{n} = [a, b]$ e sejam $m = \frac{a + b}{2}$ , $a_{1} = \frac{2 a + b}{3}$ e $b_{1} = \frac{a + 2 b}{3}$ . Então definimos $I_{n + 1} = [a, a_{1}]$ se $x_{n} > m$ , e $I_{n + 1} = [b_{1}, b]$ caso contrário.

Por construção, é fácil ver que $\dots I_{2} \subset I_{1} \subset I_{0}$ . Além disso, temos que $\forall n, x_{n} \in̸ I_{n + 1}$ .

Consideremos, então, a interseção de todos os intervalos $A = I_{0} \cap I_{1} \cap I_{2} \dots$ . Pela propriedade dos intervalos encaixados, este conjunto não é vazio (este conjunto é unitário, mas este detalhe não é importante neste prova).

Assim, temos que existe a, $a \in A$ . Mas, pela propriedade de que $\forall n, x_{n} \in̸ I_{n + 1}$ , temos que $x_{n} \in̸ A$ , ou seja, a é diferente de cada um dos x_n.

Em outras palavras, dada uma sequência de números entre 0 e 1, é possível construir um número real que não está nesta sequência.

Ou seja, o intervalo [0, 1] (portanto, os números reais) não é um conjunto enumerável.

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Análise real/Sequências

Definição

Classificação das sequências

Propriedades de uma sequência

Convergência de uma sequência

Divergência de uma sequência

Proposição (unicidade do limite)

Demonstração

Proposição

Demonstração

Proposição

Demonstração

Proposição (operações com sequências)

Demonstração

Proposição

Demonstração

Proposição (convergência de sequências monótonas limitadas)

Demonstração

Proposição

Demonstração

Lema

Demonstração

Proposição

Demonstração

Teorema (do confronto)

Demonstração

Subsequências

Proposição (convergência de subsequências)

Demonstração

Proposição (divergência de subsequências)

Proposição

Valor de aderência

Fatos(Menor e Maior(Valor de aderência))

Demonstração (VERIFICAR SE ESTÁ CORRETO)

sequências de Cauchy

Proposição: toda sequência convergente é de Cauchy

Demonstração

Proposição: toda sequência de Cauchy é limitada

Demonstração

Proposição: se uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente, então converge

Demonstração

Lema: toda sequência tem subsequência monótona

Demonstração

Teorema: toda sequência real de Cauchy converge

Demonstração:

Os números reais não são enumeráveis

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