Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma adimensional

Equações em forma adimensional

Equação de continuidade

A equação de continuidade em forma diferencial

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v}))=0$

tem dimensão [D{ρ}·D{t}^-1] = M·L^-3·T^-1. Para obter uma equação correspondente adimensional, substituímos a densidade ρ por ρ^*·ρ_r e a velocidade v por v^*·v_r, onde ρ_r e v_r são valores de referência e ρ^* e v^* são números puros. Aplicamos um procedimento equivalente também aos comprimentos; por exemplo, substituímos x por x^*·L_r, onde L_r é um comprimento de referência. Assim:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial ({\rho }^{*}\cdot {\rho }_r)}{\partial (t^{*}\cdot t_r)}=\frac{{\rho }_r}{t_r}\frac{\partial {\rho }^{*}}{\partial t^{*}}$

$\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v})=\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial x}+\frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y}+\frac{\partial (\rho v_z)}{\partial z}=\frac{\partial [({\rho }^{*}\cdot {\rho }_r)(v_x^{*}\cdot v_r)]}{\partial (x^{*}\cdot L_r)}+\frac{\partial [({\rho }^{*}\cdot {\rho }_r)(v_y^{*}\cdot v_r)]}{\partial (y^{*}\cdot L_r)}+\frac{\partial [({\rho }^{*}\cdot {\rho }_r)(v_z^{*}\cdot v_r)]}{\partial (z^{*}\cdot L_r)}$

$=\frac{{\rho }_r{v}_r}{L_r}(\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_x^{*})}{\partial x^{*}}+\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_y^{*})}{\partial y^{*}}+\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_z^{*})}{\partial z^{*}})$

Se escolhermos t_r tal que $t_r=\frac{L_r}{v_r}$, a equação se torna

$\frac{\partial {\rho }^{*}}{\partial t^{*}}+\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_x^{*})}{\partial x^{*}}+\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_y^{*})}{\partial y^{*}}+\frac{\partial ({\rho }^{*}{v}_z^{*})}{\partial z^{*}}=0$

ou

$\frac{\partial {\rho }^{*}}{\partial t^{*}}+(\mathrm{\nabla }{}^{*}\cdot ({\rho }^{*}\overrightarrow{v}{}^{*}))=0$, onde $\mathrm{\nabla }{}^{*}\cdot F=\frac{\partial F}{\partial x^{*}}+\frac{\partial F}{\partial y^{*}}+\frac{\partial F}{\partial z^{*}}$.

Equação de Bernoulli

Para escrever a equação de Bernoulli em forma adimensional, a pressão p deve ser substituída por p^*·p_r, com p_r = ρv_r² = ρ^*·ρ_r·v_r². Assim, se fizermos $v_r=\sqrt{g{L}_r}$,

$\frac{p}{\rho }+\frac{v^2}{2}+gz=constante$

$\frac{p^{*}\cdot p_r}{{\rho }^{*}\cdot {\rho }_r}+\frac{(v^{*}\cdot v_r{)}^2}{2}+g{z}^{*}\cdot L_r=constante$

$\frac{p^{*}({\rho }^{*}\cdot {\rho }_r\cdot v_r^2)}{{\rho }^{*}\cdot {\rho }_r}+v_r^2\frac{(v^{*}{)}^2}{2}+v_r^2\cdot z^{*}=constante$

$p^{*}+\frac{(v^{*}{)}^2}{2}+z^{*}=constante$

Equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano

Considerando-se o eixo Z como apontando para cima e desprezando-se um dos eixos horizontais, o que é válido para a maioria das situações, as equações de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano (densidade e viscosidade constantes), têm a forma seguinte:

${\rho }_0(\frac{\partial v_x}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z})=-\frac{\partial p}{\partial x}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})$

${\rho }_0(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})=-{\rho }_{0}g-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial z^2})$

Essas equações têm dimensão [D[p]·D[z]^-1] = [[M·L^-1·T^-2]·L^-1] = [M·L^-2·T^-2]. Em forma adimensional, teremos

${\rho }^{*}{\rho }_r(\frac{\partial (v_x^{*}{v}_r)}{\partial (t^{*}{t}_r)}+(v_x^{*}{v}_r)\frac{\partial (v_x^{*}{v}_r)}{\partial (x^{*}{L}_r)}+(v_z^{*}{v}_r)\frac{\partial (v_x^{*}{v}_r)}{\partial (z^{*}{L}_r)})=-\frac{\partial (p^{*}{p}_r)}{\partial (x^{*}{L}_r)}+{\mu }^{*}{\mu }_r(\frac{{\partial }^2(v_x^{*}{v}_r)}{\partial (x^{*}{L}_r{)}^2}+\frac{{\partial }^2(v_x^{*}{v}_r)}{\partial (z^{*}{L}_r{)}^2})$

${\rho }^{*}{\rho }_r(\frac{\partial (v_z^{*}{v}_r)}{\partial (t^{*}{t}_r)}+(v_x^{*}{v}_r)\frac{\partial (v_z^{*}{v}_r)}{\partial (x^{*}{L}_r)}+(v_z^{*}{v}_r)\frac{\partial (v_z^{*}{v}_r)}{\partial (z^{*}{L}_r)})=-{\rho }^{*}{\rho }_{r}g-\frac{\partial (p^{*}{p}_r)}{\partial (z^{*}{L}_r)}+{\mu }^{*}{\mu }_r(\frac{{\partial }^2(v_z^{*}{v}_r)}{\partial (x^{*}{L}_r{)}^2}+\frac{{\partial }^2(v_z^{*}{v}_r)}{\partial (z^{*}{L}_r{)}^2})$

Como

$\frac{\partial f(x)}{\partial g(x)}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial g(x)}=\frac{\frac{\partial f(x)}{\partial x}}{\frac{\partial g(x)}{\partial x}}\Rightarrow \frac{\partial f(x)}{\partial (kx)}=\frac{1}{k}\frac{\partial f(x)}{\partial x}$e

$\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial g(x{)}^2}=\frac{\partial }{\partial g(x)}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial g(x)}\right)=\frac{\partial }{\partial g(x)}\left(\frac{1}{k}\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right)=\frac{1}{k}\frac{\partial }{\partial (kx)}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right)=\frac{1}{k^2}\frac{\partial }{\partial (x)}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}\right)=\frac{1}{k^2}\left(\frac{{\partial }^{2}f(x)}{\partial x^2}\right)$

Temos

$\frac{{\rho }_r{v}_r}{t_r}{\rho }^{*}\frac{\partial v_x^{*}}{\partial t^{*}}+\frac{{\rho }_r{v}_r^2}{L_r}{\rho }^{*}(v_x^{*}\frac{\partial v_x*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_x^{*}}{\partial z^{*}})=-\frac{p_r}{L_r}\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}}+\frac{{\mu }_r{v}_r}{L_r^2}{\mu }^{*}(\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial x^{*2}}+\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial z^{*2}})$

$\frac{{\rho }_r{v}_r}{t_r}{\rho }^{*}\frac{\partial v_z^{*}}{\partial t^{*}}+\frac{{\rho }_r{v}_r^2}{L_r}{\rho }^{*}(v_x^{*}\frac{\partial v_z*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_z^{*}}{\partial z^{*}})=-{\rho }^{*}{\rho }_{r}g-\frac{p_r}{L_r}\frac{\partial p^{*}}{\partial z^{*}}+\frac{{\mu }_r{v}_r}{L_r^2}{\mu }^{*}(\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial x^{*2}}+\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial z^{*2}})$

Com as substituições usuais $(p_r={\rho }^{*}{\rho }_r{v}_r^{2}e{v}_r=\sqrt{g{L}_r})$ e ainda ${\mu }_r={\rho }_r{L}_r{v}_r$e tomando $t_r=\frac{L_r}{v_r}$ teremos,

$\frac{{\rho }_r{v}_r^2}{L_r}{\rho }^{*}\frac{\partial v_x^{*}}{\partial t^{*}}+\frac{{\rho }_r{v}_r^2}{L_r}{\rho }^{*}(v_x^{*}\frac{\partial v_x*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_x^{*}}{\partial z^{*}})=-\frac{{\rho }^{*}{\rho }_r{v}_r^2}{L_r}\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}}+\frac{{\rho }_r{L}_r{v}_r^2}{L_r^2}{\mu }^{*}(\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial (x^{*}{)}^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial (z^{*}{)}^2})$

$\frac{\partial v_x^{*}}{\partial t^{*}}+v_x^{*}\frac{\partial v_x*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_x^{*}}{\partial z^{*}}=-\frac{\partial p^{*}}{\partial x^{*}}+\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}(\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial (x^{*}{)}^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x^{*}}{\partial (z^{*}{)}^2})$

Similarmente,

$\frac{\partial v_z^{*}}{\partial t^{*}}+v_x^{*}\frac{\partial v_z*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_z^{*}}{\partial z^{*}}=-1-\frac{\partial p^{*}}{\partial z^{*}}+\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}(\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (x^{*}{)}^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (z^{*}{)}^2})$

Também é comum escolher v_r tal que coincida com a velocidade do fluxo na superfície livre. Esse valor é indicado usualmente também como v_∞. Tal substituição implica que a pressão de referência p_r e a velocidade de referência sejam relacionadas da mesma forma $(p_r={\rho }^{*}{\rho }_r{v}_r^2)$, mas a identidade $v_r=\sqrt{g{L}_r}$ não pode ser empregada. Neste caso, a primeira equação se mantém inalterada, mas a segunda se torna:

$\frac{\partial v_z^{*}}{\partial t^{*}}+v_x^{*}\frac{\partial v_z*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_z^{*}}{\partial z^{*}}=-\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}-\frac{\partial p^{*}}{\partial z^{*}}+\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}(\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (x^{*}{)}^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (z^{*}{)}^2})$

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