Mecânica dos fluidos/Equações de Navier-Stokes

Equações de Navier-Stokes

Conforme visto anteriormente, a equação de conservação do momento linear em forma diferencial, para coordenadas cartesianas, pode ser escrita

$(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}){\overrightarrow{u}}_x+(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}){\overrightarrow{u}}_y+(\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}-\rho g){\overrightarrow{u}}_z=\rho (\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}+\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t})$

Essa equação só pode ser resolvida depois que os valores das tensões σ e τ são relacionados às componentes da velocidade por meio de equações auxiliares. De acordo com a análise cinemática anterior, as tensões de cisalhamento estão relacionadas com a velocidade da seguinte maneira

$\frac{\partial v_x}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial x}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{yx}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{xy}$

$\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial x}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{zx}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{xz}$

$\frac{\partial v_z}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial z}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{yz}=\frac{1}{\mu }{\tau }_{zy}$

e, de acordo com a análise estática anterior

${\sigma }_{xx}=-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x}$

${\sigma }_{yy}=-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_y}{\partial y}$

${\sigma }_{zz}=-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_z}{\partial z}$

Desenvolvendo, teremos um conjunto de três equações que é conhecido como equações de Navier-Stokes.

Na direção do eixo X, teremos:

$(\frac{\partial }{\partial x}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial z}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial z}+\mu \frac{\partial v_z}{\partial x}))=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

Na direção do eixo Y, teremos

$(\frac{\partial }{\partial y}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_y}{\partial y})+\frac{\partial }{\partial x}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial z}(\mu \frac{\partial v_z}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial z}))=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_y}{\partial t})$

E, na direção do eixo Z, teremos

$(\frac{\partial }{\partial z}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_z}{\partial z})+\frac{\partial }{\partial x}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial z}+\mu \frac{\partial v_z}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\mu \frac{\partial v_z}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial z}))-\rho g=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial t})$

Essas três equações, mais a equação de continuidade, formam um sistema de quatro equações diferenciais parciais não-lineares acopladas, cuja solução é possível apenas em casos especiais. Exemplos de casos especiais são aqueles onde o fluido é um líquido ideal e a geometria do problema é muito simples.