Mecânica dos fluidos/Equações básicas em forma diferencial

Equações básicas em forma diferencial

As equações básicas para sistemas e volumes de controle estão expressas em forma integral. Essa forma é conveniente quando se deseja analisar o comportamento macroscópico de um fluido, entendido como um campo de propriedades. Para obter o valor dessas propriedades em cada ponto do espaço, no entanto, elas não servem; para isso é preciso expressar as equações em forma diferencial e resolver as equações diferenciais resultantes.

Equação de continuidade

A forma diferencial da equação de continuidade pode ser derivada tomando-se as equações para um volume de controle C e considerando-o como um elemento de volume infinitesimal δV e superfície δS.

$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_{\delta V}\rho dV+{\int }_{\delta S}\rho (\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=0$

Podemos reescrever a equação como

${\int }_{\delta V}\frac{\partial \rho }{\partial t}dV+{\int }_{\delta S}(\rho \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=0$

e aplicar o teorema de Gauss (ou teorema da divergência):

${\int }_V(\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{f})dV={\int }_S(\overrightarrow{f}\cdot d\overrightarrow{S})$

obtendo

${\int }_{\delta V}\frac{\partial \rho }{\partial t}dV+{\int }_{\delta V}(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v}))dV=0\Rightarrow \frac{\partial \rho }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v}))=0$

que é a forma diferencial da equação de continuidade.

Conservação do momento linear

De acordo com a segunda lei de Newton, a força atuante sobre um elemento de volume infinitesimal δV é igual à variação do seu momento linear. Assim, podemos escrever

$\delta \overrightarrow{F}=\delta \overrightarrow{M}$

Mas, de acordo com as análises anteriores sobre o momento linear, sabemos que sua variação está relacionada à derivada material de acordo com a expressão

$\delta \overrightarrow{M}=\delta m\cdot \overrightarrow{a}=\delta m(\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}+\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t})$

E, de acordo com as análises anteriores sobre as forças aplicadas, sabemos que podemos relacionar essas forças de acordo com as expressões

$\delta \overrightarrow{F}=\delta F_x{\overrightarrow{u}}_x+\delta F_y{\overrightarrow{u}}_y+\delta F_z{\overrightarrow{u}}_z$

$\delta F_x=(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z})\cdot \delta V$

$\delta F_y=(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z})\cdot \delta V$

$\delta F_z=(\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}-\rho g)\cdot \delta V$

para o caso em que a única força do corpo relevante é o peso do líquido e os eixos coordenados são escolhidos de maneira ao eixo Z ficar na vertical e apontando para cima. Como δm = ρ δV, podemos escrever

$(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}){\overrightarrow{u}}_x+(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z}){\overrightarrow{u}}_y+(\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}-\rho g){\overrightarrow{u}}_z=\rho (\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v}+\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t})$

que é a equação de conservação do momento em forma diferencial para coordenadas cartesianas.

Primeira lei da termodinâmica

Aplicando a primeira lei da termodinâmica a um volume de controle infinitesimal, teremos, considerando um escoamento de regime permanente e na ausência de trabalho realizado, teremos, ao usar a formulação mais extensa:

$\frac{dQ}{dt}+\frac{d{W}_{\mathrm{\Omega }}}{dt}+\frac{d{W}_{\tau }}{dt}+\frac{d{W}_{outro}}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_C\rho (u+\frac{v^2}{2})dV+{\int }_S[\rho (u+\frac{v^2}{2})-\sigma ](\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

$\frac{dQ}{dt}+0=\frac{\partial }{\partial t}\left(\rho (u+\frac{v^2}{2}){\delta }_V\right)+(-[{\rho }_1(u_1+\frac{v_1^2}{2})-{\sigma }_1](v_1{A}_1)+[{\rho }_2(u_2+\frac{v_2^2}{2})-{\sigma }_2](v_2{A}_2))$

onde v, ρ, u e σ são os valores vigentes no centro do volume, v₁, ρ₁, u₁ e σ₁ são os valores vigentes na face posterior do volume, e v₂, ρ₂, u₂ e σ₂ são os valores vigentes na face anterior do volume. Aplicando a equação da continuidade, ρ₁ · v₁ · A₁ = ρ₂ · v₂ · A₂ = dm/dt

$\frac{dQ}{dt}=0+(0-[(u_1+\frac{v_1^2}{2})-\frac{{\sigma }_1}{{\rho }_1}]({\rho }_1{v}_1{A}_1)+[(u_2+\frac{v_2^2}{2})-\frac{{\sigma }_2}{{\rho }_2}]({\rho }_2{v}_2{A}_2))$

$\frac{dQ}{dt}=(-[(u_1+\frac{v_1^2}{2})-\frac{{\sigma }_1}{{\rho }_1}]+[(u_2+\frac{v_2^2}{2})-\frac{{\sigma }_2}{{\rho }_2}])\frac{dm}{dt}$

$\frac{dQ}{dm}=[(u_2+\frac{v_2^2}{2})-\frac{{\sigma }_2}{{\rho }_2}]-[(u_1+\frac{v_1^2}{2})-\frac{{\sigma }_1}{{\rho }_1}]$

Exercícios resolvidos

• C10
• C11

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