Análise real/Conjunto

Noções de Teoria dos Conjuntos

Definição de Conjunto

Um Conjunto é constítuidos de objetos denominados de elementos.

Quando um elemento x pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\in X$.

Quando um elemento x não pertence a um conjunto X, escrevemos: $x\in ̸X$.

Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.

• Exemplo: Seja $A$ um conjunto cujos elementos são 1, 2, 3 e 4; $B$ é o conjunto dos quatro primeiros impares naturais. Temos que $A=\{1,2,3,4\},B=\{1,3,5,7\},\text{ logo }2\in A,2\in ̸B$.

Repetidas vezes usamos expressões do tipo “existe”, “para todo”, “qualquer que seja”, etc. Para simplificar a escrita destas expressões introduziremos alguns símbolos que as representam, a saber:

• $\mathrm{\exists }$ significa “existe”;
• $\mathrm{\exists }!$ significa “existe um único”;
• $\mathrm{\forall }$ significa “para todo” ou “qualquer que seja”;
• $\Rightarrow$ significa “se ... então ...” ou “implica que”;
• $\iff$ significa “se, e somente se,”.

Exemplos de Conjuntos importantes

Conjunto dos naturais

O Conjunto $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$

Conjunto dos inteiros

O Conjunto $\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$

Conjunto dos racionais

O Conjunto $\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b};a\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}\}$

Conjunto dos iracionais

$ℝ-\mathbb{Q}=\{x\in ̸\mathbb{Q};x\ne \frac{a}{b},\mathrm{\forall }a,b\mathbb{Z}\}$

Conjunto dos reais

O Conjunto dos reais $ℝ$ são todos os números racionais e os irracionais.

• $ℝ=\mathbb{Q}\cup (ℝ-\mathbb{Q})$
• $ℝ=\{x;a{x}^2+bx+c=0e{b}^2\ge 4ac\}$
• $ℝ=\{x\in ℂ;a{x}^2+bx+c=0e{b}^2\ge 4ac\}$ (visto como subconjunto dos complexos)

Conjunto dos complexos

O Conjunto $ℂ=\{x;a{x}^2+bx+c=0:a,b,c\in \mathbb{Z}\}=\{a+bi;a,b\in ℝ\}$

Conjunto definido através de propriedades

$Y=\{y;yquesatisfazemaspropriedades{P}_1,...,P_n\}$

• Exemplo: $Y=\{y;ysejanatural,ysejamaiorque3,ysejamenorouiguala8\}=\{4,5,6,7,8\}$
  • O exemplo anterior deve ser escrito assim: $Y=\{y\in \mathbb{N};3<y\le 8\}=\{4,5,6,7,8\}$

Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$. Mas é mais conhecido como conjunto vazio. Podemos dizer que é um conjunto que não possui elemento. Na prática é um conjunto definidos por propriedades, mas que elemento nenhum satisfaz as propriedades desse conjunto.

• exemplo: $A=\{x;x$ seja natural positivo $\}$ e $B=\{y;y$ seja inteiro negativo $\}$. Vamos tomar $C=\{$ elementos que estão no conjunto A e estão no conjunto B $\}$. Logo C é vazio, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.
  • A maneira matemática formal de escrever o que foi enunciado no exemplo anterior: $A=\{x\in \mathbb{N};x>0\}\text{ e }B=\{y\in \mathbb{Z};y<0\}$. Vamos tomar $C=A\cap B$. Logo $C=\varnothing$, pois nenhum elemento que seja natural positivo é inteiro negativo.

Conjuntos Ordenados

Um Conjunto ordenado é um grupo de objetos com um sentido definido de quem é maior. Para dar uma definição abstrata de ordem, iremos dar alguns exemplos de conjuntos ordenados e explorar algumas relações básicas. Nosso primeiro e mais importante conjunto é o conjunto dos números naturais.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$ (Alguns autores tomam $\{0,1,2,\dots \}$ — quando nós desejarmos nos referir a esse conjunto, usaremos ${\mathbb{N}}_0$). O conjunto dos números naturais são todos os números que usamos para contar. Este conjunto é definido por propriedades. A primeira propriedade do conjunto dos números naturais $\mathbb{N}$ é que têm uma relação de equivalência $=$ satisfazendo as relações de equivalência seguintes:

1. Reflexividade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb{N},n=n;$

2. Simétrico

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n=m\Rightarrow m=n$;

3. Transitividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N}$ se $n=m$ e $m=l$, então $n=l$;

Estes termos afirmativos matemáticos podem ser escritos de uma maneira menos rigorosa.

• A primeira relação simplesmente significa que qualquer número natural é igual a si mesmo.
• A segunda relação significa que igualdade vale para qualquer ordem que você disser.
• A última relação diz que quando dois números naturais são iguais e um destes é igual a outro então todos os três são iguais.

Associados com essas relações de equivalência está uma ordem significando que os axiomas adicionais são satisfeitos:

1. Tricotomia

   Qualquer que seja$m,n\in \mathbb{N}$, um e somente um, destes abaixo é verdadeiro:

   $m<n$

   $m=n$

   $m>n$

   A notação $m\le n$ significa que $m<n$ ou $m=n$, e a notação $m\ge n$ significa que $m>n$ ou $m=n$.

2. Transitividade de < and >.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N}$, se $n<m$ e $m\le l$, então $n<l$.

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N}$, se $n>m$ e $m\ge l$, então $n>l$.

Tricotomia significa que qualquer dois números naturais tomados, ou eles são iguais ou um deles é maior que o outro. Transitividade diz que, se existe um terceiro número que é maior que o maior de dois primeiros, então ele é maior que o menor deles. Com isto nós temos uma definição concisa de que temos uma ordem para nossos números. Finalmente os números naturais $\mathbb{N}$ têm uma operação de associatividade chamada adição. O conjunto $\mathbb{N}$ e as operações de adição $+$ satisfazem o seguinte axioma:

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n+m\in \mathbb{N}$.

2. Comutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n+m=m+n$.

3. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N},n+(m+l)=(n+m)+l$.

   Significa que podemos escrever sem ambiguidade $n+m+l$

4. Compatibilidade com ordem

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n<n+m$

Significa que se adicionarmos dois naturais o resultado é um natural. A ordem na qual adicionamos não é importante e se eu adicionar dois naturais a soma é tão grande se somar de outro modo.

Multiplicação

1. Fechamento

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n\times m\in \mathbb{N}$.

2. Identidade

   Qualquer que seja $n\in \mathbb{N},n\times 1=n$.

3. Commutatividade

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},n\times m=m\times n$.

4. Associatividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N},(n\times m)\times l=n\times (m\times l)$,

   significa que podemos escrever ambiguosamente $n\times m\times l$.

5. Distributividade

   Qualquer que seja $n,m,l\in \mathbb{N},n\times (m+l)=n\times m+n\times l$.

6. Compatibilidade com ordernados

   Qualquer que seja $n,m\in \mathbb{N},m\le n\times m$.

Leia mais

• Conjunto estudado no ensino médio
• Teoria dos conjuntos
• Teoria dos Conjuntos (em inglês)