Teoria dos conjuntos

Teoria dos conjuntos é a teoria matemática que trata das propriedades dos conjuntos. Ela tem sua origem nos trabalhos do matemático russo Predefinição:W (1845–1918), e se baseia na ideia de definir conjunto como uma noção primitiva. Também chamada de teoria ingênua ou intuitiva devido à descoberta de várias antinomias (ou paradoxos) relacionadas à definição de conjunto. Estas antinomias na teoria dos conjuntos conduziram a matemática a axiomatizar as teorias matemáticas, com influências profundas sobre a lógica e os fundamentos da matemática.

Este livro aborda a teoria dos conjuntos de uma forma axiomática, apresentado os Predefinição:W e suas consequências, com construções de vários conjuntos conhecidos (números naturais, os ordinais, números reais) a partir dos axiomas. Para ver a teoria dos conjuntos tratada de forma mais elementar, consulte o capítulo Conjuntos do livro Matemática elementar.

Quase todos os resultados da matemática moderna (e todos os resultados da matemática com aplicação em física, química, engenharia, finanças, etc) podem ser demonstrados a partir destas construções e dos axiomas da teoria dos conjuntos; as fundações da matemática, portanto, são estes axiomas.

Para este livro, é necessário um bom conhecimento de lógica, e da notação simbólica.

Este livro apresenta os axiomas em sequência, de forma que os resultados de cada capítulo sejam construídos a partir dos resultados e definições dos capítulos anteriores.

Índice

• Capítulo 1: Conjuntos
  • /Conjuntos/
• Capítulo 2: Axiomas (primeira parte)
  • /Axioma da extensão/
    • Subconjuntos, subconjunto próprio
  • /Axioma da separação/
    • $\{x\in z|\mathrm{\Phi }(x)\},$ conjunto vazio, interseção, diferença
  • /Axioma do par/
    • {x, y}, {x}, {}, 1, 2, par ordenado
  • /Revendo o axioma da separação/
    • fórmulas bem formadas
  • /Axioma da união/
    • $A\cup B$, {x, y, z}, {w, x, y, z}, ..., s(x), 3, 4, ..., 9
• Capítulo 3: Axiomas (segunda parte)
  • /Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/
    • relações, funções, relações bem-ordenadas, conjuntos finitos, números ordinais, números naturais
  • /Axioma da potência/
  • /Axioma da substituição/
  • /Axioma da regularidade/
  • /Axioma da escolha/
  • /Axioma do infinito/
• Capítulo 4: Construções básicas da teoria
  • /Funções e relações/
  • /O conjunto dos números naturais/
  • /Números ordinais/
  • /Cardinalidade/

• Apêndice
  • /Conjuntos Infinitos/
  • /Bibliografia/

Ver também

• Matemática elementar/Conjuntos - abordagem mais elementar

en:Set Theory es:Teoría intuitiva de conjuntos hu:Halmazelmélet ja:集合論 pl:Teoria mnogości