Matemática elementar/Conjuntos

Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Representação

Ficheiro:Conjunto A.png

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

A = {v, x, y, z}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S = {A, B, C, D}

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar [[../Equações algébricas|algebricamente]] um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P = {6, 28, 496}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

Z_{100} = {0, 1, 2, . . ., 99}

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T = {{1, 6}, {5, 8}}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A = {x | P (x)}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

A = {x \in ℝ | x^{2} - 6 x = - 8}

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, $A = {2, 4}$ .

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por ${}$ , $\emptyset$ , $\emptyset$ ou $ϕ$ .^[1] Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Subconjuntos

Ficheiro:Conjuntos subconjunto.png

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se $A \subset B$ . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, $𝒫 (A)$ , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar $𝒫 (A)$ é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então

𝒫 (A)

= { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto

𝒫 (A)

terá 2ⁿ elementos. Ou seja:

# 𝒫 (A) = 2^{# A}

.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = $\emptyset$ → P(A) = { $\emptyset$ } → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = { $\emptyset$ ,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = { $\emptyset$ ,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = { $\emptyset$ ,a,b,c,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por $\emptyset$ somado às possíveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por $\emptyset$ ).

n(P(A)) = $(\binom{n}{1}) + (\binom{n}{2}) + (\binom{n}{3}) + . . . + (\binom{n}{n}) + 1 = \sum_{k = 1}^{n} \frac{n!}{(n - k)! k!} + 1$

Pelo Predefinição:W, com a soma das linhas:

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + . . . + C_{n}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{n!}{(n - k)! k!} = 2^{n}$

→ n(P(A)) = $2^{n} - C_{n}^{0} + 1$

Mas, $C_{n}^{0} = \frac{n!}{(n - 0)! 0!} = \frac{n!}{n!} = 1$

→ n(P(A)) $= 2^{n} - C_{n}^{0} + 1 = 2^{n} - 1 + 1 = 2^{n}$

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que $| A | < | P (A) |$ .

Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Para relacionar um conjunto com outro conjunto(ou subconjunto) utilizamos a relação de inclusão.

Exemplo: Se considerarmos o conjunto $A$ formado por todas as letras do alfabeto e o conjunto $V$ formado pelas vogais, podemos dizer que $A \supset V$ (A contém V) ou $V \subset A$ (V está contido em A)

Relação de pertinência

Se $a$ é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in A$ . Se $a$ não é um elemento de $A$ , nós podemos dizer que o elemento $a$ não pertence ao conjunto $A$ e podemos escrever $a \in̸ A$ .

Exemplos:

$- 16 \in ℤ$
$c \in {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}$

$c \in̸ {a, e, i, o, u}$
$\frac{4}{9} \in̸ ℤ$

Subconjuntos próprios e impróprios

Se $A$ e $B$ são conjuntos e todo o elemento $x$ pertencente a $A$ também pertence a $B$ , então o conjunto $A$ é dito um subconjunto do conjunto $B$ , denotado por $A \subseteq B$ . Note que esta definição inclui o caso em que $A$ e $B$ possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto ( $A = B$ ). Se $A \subseteq B$ e ao menos um elemento pertencente a $B$ não pertence a $A$ , então $A$ é chamado de subconjunto próprio de $B$ , denotado por $A \subset B$ . Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A simbologia usada é $A = B$ . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo $\neq$ .

Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos

Ficheiro:Conjuntos uniao.png

União de A e B (em azul mais escuro)

A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co|A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A co m B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

A \cup B = {x \in U | x \in A \lor x \in B}

Por exemplo:

A = {a, e, i}

B = {o, u}

A \cup B = {a, e, i, o, u}

A = {2, 3, 4, 5}

B = {1, 3, 5}

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

A união de um conjunto $A$ , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto $A$ , $A \cup {} = A$ .

Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C = (A \cup C) \cup B$ .

Intersecção

Ficheiro:Conjuntos interseccao.png

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos $A$ e $B$ , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos $A$ e $B$ , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a $A$ quanto a $B$ . Matematicamente:

A \cap B = {x \in U | x \in A \land x \in B}

Por exemplo:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4, 5}

A \cap B = {3}

C = {a, e, i, o, u, y}

D = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, z}

C \cap D = {}

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença

Ficheiro:Conjuntos diferenca.png

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

A - B = {x \in U | x \in A \land x \in̸ B}

B - A = {x \in U | x \in B \land x \in̸ A}

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z_- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}

N = {1,2,3,4,5,...}

ℤ - ℕ = ℤ_{-} = {. . ., - 2, - 1, 0}

A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, $A - {} = A$ .

Complementar

Ficheiro:Conjuntos complementar.png

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo $∁$ . Matematicamente:

∁ B_{A} = {x \in A | x \in̸ B}

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }

D = { {10,12} }

∁ D_{A} = {3, 4, 9, {25, 27}}

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então a cardinalidade do conjunto A é 3.

Se A = { }, então a cardinalidade do conjunto A é 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser $ℵ_{0}$ (aleph zero), $ℵ_{1}, ℵ_{2} . . .$ .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto $A$ é denotada por $| A |$ ou por $# A$ . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então $| A | = | B |$ .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele
É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios

Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

(a, b) \neq (b, a)

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

(a, b) = {{a}, {a, b}}

(b, a) = {{b}, {b, a}}

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O símbolo do produto cartesiano é $\times$ . Matematicamente:

A \times B = {(x, y) | x \in A \land y \in B}

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A \times B = {(a, b) : a \in A \land b \in B}

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

A + B = A \times {0} \cup B \times {1}

.

O produto cartesiano é não-comutativo: $A \times B \neq B \times A$ .
Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na [[../Relações|próxima seção]].)

Notas

↑ Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

Ver também

Wikilivros

Teoria dos conjuntos - texto mais avançado

Wikipédia

Ligações externas

Predefinição:AutoCat

[1] Estas notações foram introduzidas pelo grupo Bourbaki, que inspirou-se na letra norueguesa Ø.

[1]

Matemática elementar/Conjuntos

Índice

Representação

Especificando conjuntos

Terminologia

Conjunto unitário

Conjunto vazio

Subconjuntos

Conjunto das partes ou potência

Conjunto Universo

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Relação de pertinência

Subconjuntos próprios e impróprios

Igualdade de conjuntos

Simetria de conjuntos

Operações com conjuntos

Intersecção

Diferença

Complementar

Cardinalidade

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Exercícios

Par ordenado

Produto cartesiano

Relações

Notas

Ver também

Wikilivros

Wikipédia

Ligações externas

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Matemática elementar/Conjuntos

Representação

Especificando conjuntos

Terminologia

Conjunto unitário

Conjunto vazio

Subconjuntos

Conjunto das partes ou potência

Conjunto Universo

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Relação de pertinência

Subconjuntos próprios e impróprios

Igualdade de conjuntos

Simetria de conjuntos

Operações com conjuntos

Intersecção

Diferença

Complementar

Cardinalidade

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Exercícios

Par ordenado

Produto cartesiano

Relações

Notas

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