Álgebra abstrata/Conjuntos

Teoria dos Conjuntos

O objetivo deste livro não é estudar a Teoria dos Conjuntos; este estudo pode ser feito de forma elementar (ou ingênua), de forma axiomática, ou mesmo de forma avançada (que é a análise dos próprios axiomas, verificando independência, completude e consistência).

Uma versão elementar está incluída no livro Matemática elementar: Matemática elementar/Conjuntos.

A teoria axiomática dos conjuntos (algumas vezes chamada de teoria ingênua dos conjuntos) está no livro Teoria dos conjuntos.

A Teoria dos Conjuntos é essencial para aprender Álgebra. O que se segue é um resumo da teoria, apenas alguns conceitos, mas será o suficiente para começarmos a estudar álgebra.

Definição de Conjunto

Conjunto é uma coleção de objetos

• Ex: $A=\{1,2,3\}$, $B=\{azul,amarelo,verde\}$
  • $A$ é uma coleção de números, $B$ é uma coleção de cores $$
  • Logo $AeB$ são conjuntos

Seja $X$ um conjunto:

• $Sex\in X$, significa que $x$ é um elemento de $X$.
• $Sex\in ̸X$, significa que $x$ não é um elemento de $X$.

Definição de Subconjunto

Um subconjunto $Y$ é parte de certa coleção $X$.

• Ex: $X=\{x\in ℝ;x>2\},Y=\{y\in ℝ;4<y<10\}$
  • Assim $y\in X,\mathrm{\forall }y\in Y$, isto é, todo elemento que pertence a $Y$, pertence a $X$, por isso dizemos que $Y$ é subconjunto de $X$.
• Mais formalmente, se $y\in Y\Rightarrow y\in X$, logo $Y\subset X\iff X\supset Y$

Inclusão

$Y\subset X$ é a inclusão dos elementos de $YaX$, e lê-se $Y$ está contido em $X$.

Igualdade

• $Y=X\iff Y\subset XeX\subset Y$
• Subconjunto próprio: $Y$ é subconjunto próprio de $X\iff Y\ne X$
  • Isto é, $Y\subset X,masX\subset ̸Y$

Conjunto vazio

Um conjunto que não têm elementos é chamado de conjunto nulo e representado pelo símbolo $\varnothing$

• O $\varnothing \subset X$, isto é, o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• Às vezes é chamado de conjunto vazio.

Conjunto x propriedade

É comum definirmos um conjunto usando alguma propriedade:

• $SejaX\subset K,X=\{x\in K;xgozadapropriedadeP\}$
• Ex: $K=\{\mathrm{...},-3,-2,-1,0,1,\mathrm{...}\},X=\{x\in K;x>0\}=\{1,2,3,4,\mathrm{...}\}$
  • Veremos mais para frente que K é o conjunto dos inteiros e que X é o conjunto dos naturais

União

A união de dois conjuntos é a reunião dos seus elementos, se algum elemento estiver repetido na inclusão, será contado uma única vez, assim:

• $SejaA,B\subset K,A\cup B=\{x\in K;x\in Aoux\in B\}$
  • Veremos mais para frente que $A\cup B=(A-B)\cup (B-A)\cup (A\cap B)$ ao qual são três conjuntos disjuntos

Exemplos:

• $A\cup A=A$
• $A\cup B=A\iff B\subset A$

Intersecção

A intersecção de dois conjuntos é a reunião dos elementos que estão em ambos, assim:

• $SejaA,B\subset K,A\cap B=\{x\in K;x\in Aex\in B\}$

Exemplos:

• $A\cap A=A$
• $A\cap B=B\iff B\subset A$

Disjuntos

Dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção dos conjuntos é o conjunto vazio, ou seja, quando seus elementos são distintos.

• $SejaA,B\subset K,A\cap B=\varnothing \Rightarrow A,B$ são disjuntos.

Exemplos:

• $A\cap A=A$. Logo A não é disjunto dele próprio.
• $A\cap B=B$. Logo A,B não são disjuntos.
• $SejaA=\{\mathrm{...},-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,\mathrm{...}\};A\cap B=\varnothing$. Logo A,B são disjuntos.

Diferença

A diferença de dois conjuntos é a exclusão dos elementos do segundo conjunto que estão no primeiro, assim:

• $SejaA,B\subset K,A-B=\{x\in K;x\in Aex\in ̸B\}$.

Exemplos:

• $A-A=\varnothing$.
• $A-B=A\iff A\cap B=\varnothing$.
  • $SejaA=\{\mathrm{...},-4,-3,-2,-1\},B=\{1,2,3,4,\mathrm{...}\};ComoA\cap B=\varnothing \Rightarrow A-B=A$.
• $SejaA,B\subset K;A\cap B=\varnothing ;A\cup B=K\Rightarrow K-A=B;K-B=A$.

Complemento

É um modo diferente de ver a diferen~ça de dois conjuntos

• $SejaA,B\subset K;A\cup B=K\Rightarrow A-B={\complement }_{A}B=K-B={\complement }_{K}B$.

Distributividade do conjuntos

Existe duas importantes propriedades usando união e intersecção, são elas:

1. $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
2. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

Axiomas básicos

Um subconjunto importante é o $I_n=\{p\in \mathbb{N},1\le p\le n\}$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, pois através deles conseguimos contar elementos de um conjunto.

• Exemplo: $I_5=\{1,2,3,4,5\}$

Axiomas de Peano (sucessão)

A função sucessão é dada por $S(n)=n+1;\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

1. (Identidade) A função de sucessão $s:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{N}$ é injetiva
   • Dados $m,n\in \mathbb{N},s(m)=s(n)\Rightarrow m=n$
2. (Menor Elemento) Existe um elemento que não é sucessor de nenhum outro: 1
   • Logo $\mathrm{\exists }m$ tal que s(m)=1
   • (unicidade) $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\Rightarrow s(n)\in \mathbb{N}$
     • Seja $m,n,p\in \mathbb{N};s(n)=p+1;s(m)=p+1$, para cada fator temos que n=p e m=p; por transitividade n=m. Logo o sucessor de um número é único
3. (Princípio da Indução) Seja $X\subset \mathbb{N}$ um conjunto com as seguintes propriedades: $1\in X$; Se $k\in X$ então $k+1\in X$. Então $X=\mathbb{N}$

Teorema (Princípio da boa ordenação)

Todo subconjunto não-vazio $A\subset \mathbb{N}$ possui um elemento mínimo.

Prova

• Devemos mostrar o complementar de $A$ em relação ao $\mathbb{N}$ assim $B\subset \mathbb{N}-A$
  • Tomemos um subconjunto $\mathbb{N}$ : $B$ formado pelos elementos que não estão em $A$, ou seja, $B=\{x\in \mathbb{N}/x\in ̸A\}$.
• a quem pertence o elemento $1$
  • Se $1\in A$ o teorema está demonstrado, pois $1$ é o menor elemento do $\mathbb{N}$.
  • Se $1\in ̸A,$ logo $1\in B$
• O conjunto $I_n$
  • Agora tomemos um subconjunto de $B$, chamado $I_n=\{1,2,\mathrm{...}n\}$ onde n é o maior natural tal que aconteça isso, assim $1\in ̸A,2\in ̸A,\mathrm{...},n\in ̸A$
• mostrar que $n+1\in A$
  • Pela construção do conjunto $I_n$, temos que $n\in I_n$. Se $n+1\in B$, teríamos $n+1\in I_n$ e logo $I_{n+1}$. Como não faz sentido, logo $n+1\in ̸B$, portanto $n+1\in A$
• Devemos mostrar que $n+1$ é o menor elemento de $A$
  • Como todos os antecessores de $n+1$ são os elementos de $I_n$, temos que $n+1$ é o menor elemento de $A$, pois os elementos menores que $n+1$ estão em $B$

Conjuntos finitos e infinitos

Um conjunto X é finito quando assume uma das opções abaixo:

• quando ele é vazio. (Neste caso o conjunto têm 0 elementos)
• quando existe uma bijeção entre $I_n$ e $X$. (Neste caso o conjunto têm n elementos)
  • escreve-se $f_{bij}:I_n\mapsto X$.

Concluímos que:

• todo conjunto $I_n$ é finito.
• Que uma função bijeção entre dois conjuntos ocorre somente quando eles possuem a mesma quantidade de elementos
• Numa bijeção, se um conjunto é finito, o outro também o é.

Quando o conjunto X não é finito (ou seja, não atende os requisitos para ser finito), o chamamos de infinito.

Propriedades importantes dos conjuntos finitos

Teorema (Bijeção sobre um subconjunto)

Seja $A\subset I_n$. Se existir uma bijeção $f:I_n\mapsto A,$ então $A=I_n$.

Prova

• o fato de $A$ ser um subconjunto de $I_n$ nos diz que
  • $A$ têm no máximo os mesmos elementos de $I_n$
  • $A$ têm no máximo n elementos.
• Se $I_n\mapsto A$ é uma bijeção, pela definição de finito, temos que A têm a mesma quantidade de elementos de $I_n$.
• Juntando os dois fatos (o fato de $A$ ter a mesma quantidade de elementos de $I_n$ e que esses elementos são no máximo os elementos de $I_n$) temos que $A=I_n$.

Corolário (unicidade numa bijeção)

Se existir uma bijeção $f:I_m\mapsto I_n$ então $m=n$. Consequentemente, se existem duas bijeções $f:I_m\mapsto X$ e $f:I_n\mapsto X$, logo $m=n$.

Prova

• o teorema 2 nos diz que seja $A\subset I_n$ e se existir uma $f_{bij}:I_n\mapsto X$, temos que $I_n=A$
  • Logo devemos supor que $I_m\subset I_n$ (neste caso estamos supondo que $m\le n$), e essa suposição é válida pois se fosse $m>n$ não teríamos uma bijeção
• Pelo teor 2, $I_m=I_n$ ao qual $\Rightarrow m=n$

Corolário (bijeção sobre uma parte própria)

Não pode existir uma $f_{bij}:X\mapsto Y$ de um conjunto finito sobre uma parte própria $Y\subset X$

Teorema (Propriedades de um subconjunto)

Se $X$ é um conjunto finito então todo subconjunto $Y\subset X$ é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual quando Y = X.

Corolário

Seja $f:X\mapsto Y$ uma função injetora. Se Y for finito então X também será. Além disso, o número de elementos de X não excede o de Y.

Leia mais

• Conjunto estudado no ensino médio
• Teoria dos conjuntos
• Bijetiva
• Teoria dos Conjuntos (em inglês)