Topologia/Conceitos básicos da teoria de conjuntos

Partes de um conjunto

Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A está contido em, é subconjunto de ou ainda é parte de B quando todo elemento de A é elemento de B ou, simbolicamente, x ∈ A ⇒ x ∈ B. Neste caso, escrevemos A ⊂ B. Esta relação entre os conjuntos A e B é chamada relação de inclusão. Se trabalhamos com conjuntos dentro de algum universo, esta passa a ser uma relação de ordem. Isto quer dizer que, para quaisquer conjuntos A, B e C dentro deste universo, valem as três propriedades a seguir:
Reflexiva: $A\subset A$
Antissimétrica: $A\subset B\text{ e }B\subset A⟹A=B$
Transitiva: $A\subset B\text{ e }B\subset C⟹A\subset C$
Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto $\mathrm{\wp }(A)$ cujos elementos são os subconjuntos de A. Ele nunca é vazio, já que $\varnothing \in \mathrm{\wp }(A)$ e $A\in \mathrm{\wp }(A)$.

União, interseção e complemento

A união de dois conjuntos A e B é o conjunto A ∪ B cujos elementos pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B. A interseção de A e B é o conjunto A ∩ B cujos elementos pertencem a ambos os conjuntos A e B. Dado um conjunto A num conjunto universo U definimos o complemento de A como sendo o conjunto $\complement A$ formado pelos elementos de U que não pertencem a A. Mais geralmente, a diferença dos conjuntos A e B é o conjunto $A-B$ formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Se A e B se encontram no mesmo conjunto universo, temos $A-B=A\cap \complement B$.

Com estas definições, temos algumas propriedades importantes:

1. $A\cup A=A$, $A\cap A=A$ e $\complement (\complement A)=A$;
2. $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ e $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$;
3. $A\cup B=B\cup A$ e $A\cap B=B\cap A$;
4. $A\cap B\subset A\subset A\cup B$;
5. $A\subset B⟺A\cup B=B$ e $A\subset B⟺A\cap B=A$;
6. $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ e $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$;
7. (DeMorgan) $\complement (A\cup B)=\complement A\cap \complement B$ e $\complement (A\cap B)=\complement A\cup \complement B$.

Família

Dados conjuntos X e Y, uma família em Y com índices em X é uma função f: X → Y. Apesar de definida por uma função, a ideia de família se guarda no conjunto-imagem desta função, não na função em si. Costuma-se denotar, para cada x ∈ X, $f(x)$ por um subscrito. Se denotamos $f(x)=a_x$, a família é denotada por (a_x)_{x ∈ X}. Quando subentendido o conjunto X de índices, podemos omití-lo na notação, escrevendo simplesmente $(a_x{)}_x$. Se os elementos de Y são conjuntos, temos uma família de conjuntos.

Sendo (A_x)_{x ∈ X} uma família de conjuntos, definimos a união ${\bigcup }_{x\in X}{A}_x$ como sendo o conjunto dos y tais que y ∈ A_x para algum x.

Analogamente, quando X não for o conjunto vazio, definimos a interseção ${\bigcap }_{x\in X}{A}_x$ como o conjunto dos y tais que, para todo x ∈ X, y ∈ A_x.

Vale também para famílias de conjuntos as leis de DeMorgan, desde que a interseção esteja definida:
$\complement \left(\bigcup _{x\in X}{A}_x\right)=\bigcap _{x\in X}\complement A_x$ e $\complement \left(\bigcap _{x\in X}{A}_x\right)=\bigcup _{x\in X}\complement A_x$.

O problema com ${\bigcap }_{x\in \varnothing }{A}_x$ é que qualquer coisa seria um elemento deste conjunto, o que é incompatível com a teoria dos conjuntos, já que o conjunto de todos os conjuntos não existe. Este problema desaparece quando subentendido um conjunto universo U no qual estão contidos os A_x. Neste caso, podemos considerar a interseção como sendo o próprio U.

Ver também

• Teoria dos conjuntos - livro que aborda a teoria de uma forma axiomática