Medida e integração/Notações

No decorrer deste texto algumas Predefinição:Wikt serão usadas com bastante frequência. Por este motivo, este capítulo é destinado a esclarecer tais notações.

Conjuntos numéricos

Os Predefinição:W de Predefinição:W mais conhecidos serão denotados de maneira usual:

• $\mathbb{N}$ é o conjunto formado pelos números que se usa para contar, ou seja, os Predefinição:W: $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\dots \};$
• $\mathbb{Z}$ é o conjunto que contém todos os Predefinição:W, ou seja, os números naturais e seus opostos: $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \};$
• $\mathbb{Q}$ é o conjunto formado pelos Predefinição:W, ou seja, as Predefinição:W Predefinição:W e Predefinição:W com Predefinição:W e Predefinição:W inteiros: $\mathbb{Z}=\{\frac{p}{q}:p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z},q≠0\};$
• $ℝ$ denota o conjunto dos Predefinição:W, que é formado pela Predefinição:W dos números racionais com os Predefinição:W;
• $ℂ$ denota o Predefinição:W dos Predefinição:W;

Adicionalmente, quando for mencionada uma Predefinição:Wikt que vale tanto para o corpo $ℝ$ quanto para o corpo $ℂ,$ será usada a notação $𝕂$ para não ser necessário mencionar ambos os conjuntos. Sendo assim, sempre que você encontrar $𝕂$ ao longo do texto, lembre-se que o mesmo pode ser trocado por $ℝ$ ou por $ℂ,$ sem prejuízo algum.

Operações entre conjuntos

Às vezes, ao se Predefinição:Wikt um conjunto $A$ (ou um Predefinição:Wikt qualquer $A$) em termos de uma Predefinição:Wikt $B$, é conveniente abreviar a afirmação "$A$ é definido como sendo $B$" denotando-a simplesmente como:

$A:=B$.

Em alguns [[../Bibliografia|livros]], você pode encontrar também as notações $A\dot{=}B$ e $A\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}B,$ mas neste texto elas não serão utilizadas.

Se $\mathrm{\Lambda }$ for qualquer um dos conjuntos $\mathbb{N},$ $\mathbb{Z},$ $\mathbb{Q},$ $ℝ,$ ou $ℂ,$ indica-se que o Predefinição:W foi removido de tal conjunto usando-se a notação ${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }.$ Em Predefinição:Wikt, isto se expressa como:

${\mathrm{\Lambda }}^{\ast }:=\mathrm{\Lambda }\setminus \{0\}=\{x\in \mathrm{\Lambda }:x≠0\}.$

Se $A$ e $B$ são conjuntos, então:

• $|A|$ denota a cardinalidade do conjunto $𝐀$ (ou a Predefinição:Wikt de elementos em $𝐀$). Quando $A$ é Predefinição:W, escreve-se $|A|<\mathrm{\infty }$;
• $A\cap B:=\{x\in A\text{ e }x\in B\}$ é a interseção dos conjuntos $𝐀$ e $𝐁;$
• $A\cup B:=\{x\in A\text{ ou }x\in B\}$ é a união dos conjuntos $𝐀$ e $𝐁;$
• $B\setminus A=B-A:=\{x\in B:x\in ̸A\}$ denota a diferença entre os conjuntos $𝐁$ e $𝐀;$
• Se $A\subset B,$ o conjunto $B\setminus A$ é chamado de complementar de $𝐀$ em relação a $𝐁$ e passa a ser denotado por $A_B^c.$ No entanto, alguns autores preferem manter a notação $B\setminus A.$
• Quando ficar claro pelo contexto qual é o conjunto $B,$ pode-se omiti-lo na notação $A_B^c.$ Nesses casos, escreve-se apenas $A^c$ (o complementar de $𝐀$). Com esta notação, tem-se $B\setminus A=B\cap A^c.$ Em alguns livros, encontram-se também as notações $A\complement ,$ ou ainda $\tilde{A}.$
• $A\mathrm{\Delta }B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap A)$ é a diferença simétrica entre $𝐀$ e $𝐁;$
• $𝒫(A):=\{Y:Y\subset A\}$ é o conjunto das partes de $𝐀,,$ ou seja, o conjunto dos subconjuntos de $A;$
• ${𝒫}_f(A):=\{Y\in 𝒫(A):|Y|<\mathrm{\infty }\}$ é o conjunto das partes finitas de $𝐀;$

Se $\mathrm{\Lambda }$ e $X$ são conjuntos não-vazios, então uma família em $𝐗$ Predefinição:Wikt por $𝜦$ é simplesmente qualquer aplicação $x:\lambda \in \mathrm{\Lambda }\mapsto x_{\lambda }\in X.$ Os elementos de $\mathrm{\Lambda }$ são chamados de índices e conjunto $\mathrm{\Lambda }$ é então um conjunto de índices. A família é denotada por $(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ ou, quando o conjunto de índices ficar claro pelo contexto, simplesmente por $(x_{\lambda }).$

Alguns autores preferem usar $I$ ou $\mathrm{\Gamma }$ no lugar de $\mathrm{\Lambda }.$ Ocasionalmente isto poderá acontecer ao longo deste wikilivro.

Se $\mathrm{\Lambda }$ é Predefinição:W, ou seja, se existe uma Predefinição:W de $\mathrm{\Lambda }$ com $\mathbb{N},$ a família $(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ é chamada de sequência em $𝐗$ indexada por $𝜦$. Se $\mathrm{\Lambda }$ é Predefinição:W, a família $(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ é chamada de sequência finita em $𝐗$ indexada por $𝜦.$

Se $(x_{\lambda }{)}_{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}$ é uma família em $X$ indexada por $\mathrm{\Lambda },$ enumerável ou não, então:

• A união arbitrária dos ${𝐗}_{𝝀}$ quando $𝝀$ percorre $𝜦$ é o conjunto

$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }:=\{x:x\in X_{{\lambda }_0},\text{ para algum }{\lambda }_0\in \mathrm{\Lambda }\};$

• A intereseção arbitrária dos ${𝐗}_{𝝀}$ quando $𝝀$ percorre $𝜦$ é o conjunto

$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }:=\{x:x\in X_{\lambda },\mathrm{\forall }i\in \mathrm{\Lambda }\}.$

Se $\mathrm{\Lambda }=\mathbb{N}$, a união arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\mathrm{\Lambda }$ é

$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^{\mathrm{\infty }}{X}_{\lambda },$

e a intereseção arbitrária dos $X_{\lambda }$ quando $\lambda$ percorre $\mathrm{\Lambda }$ é

$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^{\mathrm{\infty }}{X}_{\lambda }.$

Analogamente, se $\mathrm{\Lambda }=\{0,\dots ,k\}$, então:

$\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\bigcup _{\lambda =0}^k{X}_{\lambda }=\bigcup _{0\le \lambda \le k}{X}_{\lambda }=X_0\bigcup \dots \bigcup X_k.$

Do mesmo modo, escreve-se

$\bigcap _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\bigcap _{\lambda =0}^k{X}_{\lambda }=\bigcap _{0\le \lambda \le k}{X}_{\lambda }=X_0\bigcap \dots \bigcap X_k.$

Predefinição:Wikt

Se $\mathrm{\Lambda }=\mathrm{\varnothing },$ então $\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=\mathrm{\varnothing }$ e $\bigcup _{\lambda \in \mathrm{\Lambda }}{X}_{\lambda }=X.$