Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E13

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Enunciado

Calcular a vazão através do tubo do exercício E11, para uma profundidade do reservatório igual a 5 m.

Solução

Do exercício anterior, sabemos que

$g\mathrm{\Delta }h=\frac{1}{2}(N_{fi}+N_{fl}\frac{L}{D}+1){\overline{v}}^2\Rightarrow {\overline{v}}^2=\frac{2g\mathrm{\Delta }h}{N_{fi}+N_{fl}\frac{L}{D}+1}$

Mas o cálculo se torna complicado porque N_fl é função da velocidade. Para resolver a equação, será preciso empregar um processo iterativo.

Iteração 1

No primeiro passo, consideremos fluxo plenamente turbulento; para a rugosidade relativa de 0.0015, o fator de fricção será considerado como igual a 0.022 e

$\overline{v}=\sqrt{\frac{2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{0,5+0.022\cdot \frac{50m}{100mm}+1}}=\sqrt{\frac{2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{0,5+0.022\cdot \frac{50m}{0.10m}+1}}$

$\overline{v}=2.8m/s$

O que resulta num Número de Reynolds de

$N_{Re}=\frac{{\rho }_0\overline{v}D}{{\mu }_0}=\frac{1000kg/m^3\cdot 2.8m/s\cdot 100mm}{0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}$

$N_{Re}=\frac{1000kg/m^3\cdot 2.8m/s\cdot 0.10m}{0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}=280000$

Esse valor de N_Re não corresponde a turbulência plena. Será preciso calcular um novo N_fl pela fórmula de Miller:

$N_f=0.25{\left[log(\frac{0.15mm}{3.7\cdot 100mm}+5.74\cdot 280000^{-0.9})\right]}^{-2}=0.023$

e continuar o processo.

Iteração 2

Com o fator de fricção considerado como igual a 0.023

$\overline{v}=\sqrt{\frac{2\cdot 9.8m/s^2\cdot 5m}{0,5+0.023\cdot \frac{50m}{0.10m}+1}}=2.7$

O que resulta num Número de Reynolds de

$N_{Re}=\frac{1000kg/m^3\cdot 2.7m/s\cdot 0.10m}{0,0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}=270000$

O novo N_fl pela fórmula de Miller será então:

$N_f=0.25{\left[log(\frac{0.15mm}{3.7\cdot 100mm}+5.74\cdot 270000^{-0.9})\right]}^{-2}=0.023$

E o processo pode ser interrompido. A vazão procurada será

$\mathrm{\Phi }=\frac{\pi D^2\overline{v}}{4}=\frac{3.14(100mm{)}^2\cdot 2.7m/s}{4}=0.022m^3/s=22l/s$

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