Mecânica dos fluidos/Estática aplicada a um elemento de volume diferencial

Estática aplicada a um volume de controle diferencial

Análise das forças de superfície

Considerando o volume δV como um cubo em um sistema de coordenadas cartesianas, situado originalmente no ponto P(x₀,y₀,z₀), podemos escrever que a força atuando no sentido do eixo X é a soma das forças nesse sentido atuando em cada uma das faces

$\delta F_x=\delta F_{xX+}+\delta F_{xX-}+\delta F_{xY+}+\delta F_{xY-}+\delta F_{xZ+}+\delta F_{xZ-}$

onde F_xX+ indica a força atuando no sentido do eixo X na face que repousa sobre o plano X+, e assim por diante.

Mas, de acordo com a definição de tensões,

$\delta F_{xX+}={\sigma }_{xx}(x_0+\delta x)\cdot \delta A_X$

$\delta F_{xX-}=-{\sigma }_{xx}(x_0)\cdot \delta A_X$

$\delta F_{xY+}={\tau }_{yx}(y_0+\delta y)\cdot \delta A_Y$

$\delta F_{xY-}=-{\tau }_{yx}(y_0)\cdot \delta A_Y$

e assim por diante, de acordo com a convenção de que uma tensão positiva está direcionada para fora do elemento de volume. Dessa forma

$\delta F_x=[{\sigma }_{xx}(x_0+\delta x)-{\sigma }_{xx}(x_0)]\cdot \delta A_X+[{\tau }_{yx}(y_0+\delta y)-{\tau }_{yx}(y_0)]\cdot \delta A_Y+[{\tau }_{zx}(z_0+\delta z)-{\tau }_{zx}(z_0)]\cdot \delta A_Z$

$\delta F_x=\delta {\sigma }_{xx}\cdot \delta A_X+\delta {\tau }_{yx}\cdot \delta A_Y+\delta {\tau }_{zx}\cdot \delta A_Z$

$\delta F_x=\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}\cdot \delta x\cdot \delta A_X+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}\cdot \delta y\cdot \delta A_Y+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z}\cdot \delta z\cdot \delta A_Z$

$\delta F_x=(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zx}}{\partial z})\cdot \delta V$

Podemos escrever equações similares para δF_y e δF_z.

$\delta F_y=(\frac{\partial {\tau }_{xy}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}}{\partial y}+\frac{\partial {\tau }_{zy}}{\partial z})\cdot \delta V$

$\delta F_z=(\frac{\partial {\tau }_{xz}}{\partial x}+\frac{\partial {\tau }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z})\cdot \delta V$

Análise das forças do corpo

As forças do corpo podem ter diversas origens, e em cada caso uma expressão específica precisa ser derivada. A força do corpo mais importante é, obviamente, o peso do fluido. Essa força geralmente aparece apenas na direção do eixo Z e pode ser expressa por

$\delta F_z=-\rho g\delta V$

o sinal negativo devendo-se ao fato de apontar para o sentido negativo do eixo Z.

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