Mecânica dos fluidos/Conservação da energia

Conservação da energia no escoamento

Antiga tubulação romana, feita de chumbo.

Rugosidade de tubulações

Como consideramos nula a velocidade junto às paredes do duto, não há perda de energia nesses pontos por fricção. No entanto, se as irregularidades nas paredes forem grandes o suficiente para ultrapassar a região de camada limite, passa a existir perda de energia também aí.

A rugosidade absoluta e é a altura média das irregularidades presentes nas paredes. A rugosidade relativa é a razão entre a rugosidade absoluta e uma medida da largura do duto; em dutos circulares, por exemplo, é a razão $\frac{e}{D}$, onde D é o diâmetro do duto.

A rugosidade em geral não influi quando o escoamento é laminar, pois a espessura da camada limite nesse caso é maior que as irregularidades das paredes. À medida que a velocidade do escoamento aumenta, o Número de Reynolds também cresce, o perfil de velocidade vai se tornando cada vez mais plano, a camada limite diminui e o efeito da rugosidade vai se tornando cada vez mais dominante.

Ao longo do tempo, a rugosidade de um duto aumenta, devido a efeitos como sedimentação e corrosão, em fatores que variam entre 5 e 10 vezes.

Expressão teórica da perda de carga

A perda de carga em um escoamento deve-se à transformação de parte da energia cinética do fluido em calor, devido à fricção entre as partículas. O calor gerado aumenta a energia interna do fluido, o que se reflete na elevação da temperatura; parte desse calor eventualmente atravessa as paredes do sistema e se perde.

A primeira lei da termodinâmica nos informa que

$\frac{dQ}{dt}-\frac{dW}{dt}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }e{\rho }_{0}dV+\underset{S}{\int }(u+\frac{v^2}{2}+gh+\frac{p}{{\rho }_0}){\rho }_{0}vdS$

Como W = 0 e a quantidade de energia dentro do volume de controle não varia no tempo, se tomarmos um intervalo curto, teremos

$\frac{dQ}{dt}=\underset{S}{\int }u{\rho }_{0}vdS+\frac{1}{2}\underset{S}{\int }{\rho }_0{v}^{3}dS+\underset{S}{\int }gh{\rho }_{0}vdS+\underset{S}{\int }pvdS=u{\rho }_{0}vS+\frac{1}{2}\underset{S}{\int }{\rho }_0{v}^{3}dS+gh{\rho }_{0}vS+pvS$

$\frac{dQ}{dt}=u{\rho }_0\mathrm{\Phi }+\frac{1}{2}\underset{S}{\int }{\rho }_0{v}^{3}dS+gh{\rho }_0\mathrm{\Phi }+p\mathrm{\Phi }$

uma vez que a energia interna u e a pressão p podem ser consideradas constantes ao longo da seção vertical do duto. Introduzindo o chamado coeficiente de energia cinética

$\alpha =\frac{1}{{\rho }_0\mathrm{\Phi }{\overline{v}}^2}\underset{S}{\int }{\rho }_0{v}^{3}dS\Rightarrow \underset{S}{\int }{\rho }_0{v}^{3}dS=\alpha {\rho }_0\mathrm{\Phi }{\overline{v}}^2$

podemos escrever

$\frac{dQ}{dt}=u{\rho }_0\mathrm{\Phi }+\frac{1}{2}\alpha {\rho }_0\mathrm{\Phi }{\overline{v}}^2+gh{\rho }_0\mathrm{\Phi }+p\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}_m(u+\frac{1}{2}\alpha {\overline{v}}^2+gh+\frac{p}{{\rho }_0})$

O coeficiente de energia cinética, que é adimensional, pode ser considerado como um fator de correção introduzido na fórmula devido ao fato de a velocidade do fluido não ser constante ao longo da seção do duto; se essa velocidade fosse constante, α seria igual a 1.

Assim, tomando dois pontos 1 e 2 no escoamento,

$\mathrm{\Delta }\left(\frac{dQ}{dt}\right)={\frac{dQ}{dt}|}_2-{\frac{dQ}{dt}|}_1={\mathrm{\Phi }}_m(u_2+\frac{1}{2}{\alpha }_2{\overline{v}}_2^2+g{h}_2+\frac{p_2}{{\rho }_0}-u_1-\frac{1}{2}{\alpha }_1{\overline{v}}_1^2+g{h}_1+\frac{p_1}{{\rho }_0})$

$\frac{\mathrm{\Delta }\left(\frac{dQ}{dt}\right)}{{\mathrm{\Phi }}_m}=(u_2-u_1)+\frac{1}{2}({\alpha }_2{\overline{v}}_2^2-{\alpha }_1{\overline{v}}_1^2)+g(h_2-h_1)+\frac{p_2-p_1}{{\rho }_0}$

A parcela u₂ - u₁ corresponde ao aumento da energia interna do fluido: energia cinética transformada em calor, devido à fricção. A parcela referente à perda de calor é

$\frac{1}{2}({\alpha }_2{\overline{v}}_2^2-{\alpha }_1{\overline{v}}_1^2)+g(h_2-h_1)+\frac{p_2-p_1}{{\rho }_0}$

O termo

$\frac{\mathrm{\Delta }\left(\frac{dQ}{dt}\right)}{{\mathrm{\Phi }}_m}=\frac{\mathrm{\Delta }\left(\frac{dQ}{dt}\right)}{{\rho }_{0}vS}=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{{\rho }_{0}V}=\frac{\mathrm{\Delta }Q}{m}=\mathrm{\Delta }H$

é a perda de calor por unidade de massa do volume de controle. A equação tem a dimensão [L²t^-2], o mesmo que energia por unidade de massa. Essa grandeza é algumas vezes chamada também de perda de carga, mas o mais comum é dividir tudo por g de forma a obter-se a perda de carga em dimensão linear.

$\mathrm{\Delta }h=\frac{1}{2}(\frac{{\alpha }_2{\overline{v}}_2^2-{\alpha }_1{\overline{v}}_1^2}{g}+(h_2-h_1)+\frac{p_2-p_1}{{\rho }_{0}g})$

O coeficiente de energia cinética tem valor 2 para escoamento laminar; para escoamento turbulento, de acordo com a lei da potência, seu valor é dado por

$\frac{2n^2}{(2n+3)(n+3)}$

Para valores suficientemente elevados do número de Reynolds, a aproximação α = 1 é bastante razoável.

Exercícios resolvidos

• E15
• E16

Predefinição:AutoCat