Matemática elementar/Trigonometria/Equações e inequações envolvendo funções trigonométricas

Conceito

Equações trigonométricas são equações nas quais a variável a ser determinada aparece após a aplicação de funções trigonométricas.

Uma das grandes diferenças entre equações trigonométricas e as demais equações é a natureza periódica destas funções.

Assim, enquanto equações do tipo:

$3x+4=0$

$x^2-4x-7=0$

possuem uma solução única, ou uma quantidade finita (e pequena) de soluções, uma equação do tipo:

$\tan x=1$

admite infinitas soluções - por ser tan uma função periódica de período $\pi ,$ para cada solução x = a, temos que $x=a+\pi$ e $x=a-\pi$ também serão soluções, assim como qualquer valor $x=a+k\pi ,$ sendo k um número inteiro (positivo, negativo ou zero).

Equações do tipo sen(x) = n, cos(x) = n e tan(x) = n

sen(x) = n

$n$	$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=n$
$\left|n\right|<1$	$\begin{array}{c}x=\alpha +2k\pi \\ x=\pi -\alpha +2k\pi \\ \alpha \in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]\end{array}$
$n=-1$	$x=-\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}+2k\pi$
$n=0$	$x=k\pi$
$n=1$	$x=\begin{array}{c}\frac{\pi }{2}\end{array}+2k\pi$
$\left|n\right|>1$	$x\in \varnothing$

A equação $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=n$ só tem soluções quando $n$ está no intervalo [-1; 1]. Se $n$ está neste intervalo, então é preciso primeiro determinar um ângulo $\alpha$ tal que:

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{-1}n$

Neste caso, as soluções são dois conjuntos infinitos (que devem ser unidos):

$x=\alpha +2k\pi$

$x=\pi -\alpha +2k\pi$

Em que $k$ é qualquer inteiro.

Quando n = 1, 0 ou -1, estas soluções tem uma forma mais simples, que podem ser vistas na tabela ao lado.

Exemplo

Resolva:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Primeiro, deve-se determinar um valor para $\alpha :$

$\alpha =\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$

Substituindo nas fórmulas, temos:

$\frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+2k\pi$

ou

$\frac{x}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}+2k\pi$

Resolvendo estas equações em x chega-se à resposta final:

$x=\frac{2\pi }{3}(1+6k)$

ou

$x=\frac{4\pi }{3}(1+3k)$

Em que k é um número inteiro.

Outro exemplo

Resolva:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(x+\pi )=\frac{1}{2}$

Substituindo $y=x+\pi :$

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}y=\frac{1}{2}$

Sabemos que $\frac{\pi }{6}$ é um ângulo cujo seno vale 1/2. Portanto, y deve valer:

$y=\frac{\pi }{6}+2k\pi$

ou

$y=\pi -\frac{\pi }{6}+2k\pi$

Substituindo o valor de $x=y-\pi$

$x=\frac{\pi }{6}-\pi +2k\pi$

ou

$x=\pi -\frac{\pi }{6}-\pi +2k\pi$

Ou seja:

$x=-\frac{5\pi }{6}+2k\pi$

ou

$x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$

Esta solução está correta, mas, normalmente, deseja-se expressar os ângulos na forma $x=\alpha +2k\pi ,$ em que $0\le \alpha <2\pi ,$

Para isso, como k é um número inteiro qualquer, ele pode ser substituído por qualquer outra expressão que também indica um número inteiro qualquer. Ou seja, podemos substituir k por k + 10, k + 42, k - 1000, etc.

No caso, como queremos tornar a parte sem k em um número entre 0 e 2 π, temos que substituir k por k+1, obtendo:

$x=-\frac{5\pi }{6}+2(k+1)\pi$

ou

$x=-\frac{\pi }{6}+2(k+1)\pi$

Finalmente:

$x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$

ou

$x=\frac{11\pi }{6}+2k\pi$

Exercícios

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