Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos

Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos $A,$ $B$ e $C$ pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são $A(\cos a,\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a),$ $B(\cos (a+b),\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b))$ e $C(\cos b,-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b).$ Os arcos $\widehat{PB}$ e $\widehat{CA}$ têm medidas iguais, logo as cordas $\overline{PB}$ e $\overline{CA}$ também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

$d_{PB}^2=2-2\cdot \cos (a+b)$

$d_{CA}^2=2-2\cdot \cos a\cdot \cos b+2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b$

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

     $\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b$

Seno da soma

Sabemos que $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=\cos (\frac{\pi }{2}-x).$ A partir disto e sendo $x=a+b,$ obtemos:

• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b)=\cos [\frac{\pi }{2}-(a+b)]=\cos [(\frac{\pi }{2}-a)-b]$

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

• $\cos (\frac{\pi }{2}-a)\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\frac{\pi }{2}-a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b$

Substituindo $\cos (\frac{\pi }{2}-a)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a$ e $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(\frac{\pi }{2}-a)=\cos a$ nesta expressão, então:

       $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a$

Tangente da soma

Sabendo que $\tan x=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x}{\cos x}$ e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para $\tan (a+b):$

• $\tan (a+b)=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b)}{\cos (a+b)}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}$

$=\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a}{\cos a\cdot \cos b}}{\frac{\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}{\cos a\cdot \cos b}}$

Então:

    $\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\cdot \tan b}$

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se $a\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,b\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ e $a+b\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z},$ porque a relação $\tan x=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x}{\cos x}$ só é válida se e somente se $x\ne \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}.$

Cotangente da soma

Como $\cot x=\frac{\cos x}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x},$ podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para $\cot (a+b):$

• $\cot (a+b)=\frac{cos(a+b)}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+b)}=\frac{\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a}$

$=\frac{\frac{\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b}}$

Simplificando, temos:

       $\cot (a+b)=\frac{\cot a\cdot \cot b-1}{\cot a+\cot b}$

Como $\cot x=\frac{\cos x}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x}$ é válida se e somente se $x\ne 0,\pi ,2\pi ,$ a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se $a\ne k\pi ,b\ne k\pi$ e $a+b\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Exemplos

• Calcule:

$\left(1\right)$ $\cos 75^{\circ }:$ $\left(2\right)$ $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}105^{\circ }:$ $\left(3\right)$ $\tan 105^{\circ }:$ $\left(4\right)$ $\cot 75^{\circ }$

• • Resolução

$\left(1\right)$ $\cos 75^{\circ }=\cos (30^{\circ }+45^{\circ })=\cos 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}45^{\circ }$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}:$ $\left(2\right)$ $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}105^{\circ }=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(45^{\circ }+60^{\circ })=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}45^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}60^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}:$ $\left(3\right)$ $\tan 105^{\circ }=\tan (45^{\circ }+60^{\circ })=\frac{\tan 45^{\circ }+\tan 60^{\circ }}{1-\tan 45^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }}$ $=\frac{1+\sqrt{3}}{1-1\cdot \sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}:$ $\left(4\right)$ $\cot 75^{\circ }=\cot (30^{\circ }+45^{\circ })=\frac{\cot 30^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }-1}{\cot 30^{\circ }+\cot 45^{\circ }}$ $=\frac{\sqrt{3}\cdot 1-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular $\cos (a-b),$ fazemos uso da igualdade $a-b=a+(-b)$ na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

• $\cos (a-b)=\cos [a+(-b)]$

$=\cos a\cdot \cos (-b)-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(-b)$ $=\cos a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot (-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b)$

Então:

    $\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b$

Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade $a-b=a+(-b)$ para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a-b)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}[a+(-b)]=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos (-b)+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(-b)\cdot \cos a$

Logo,

    $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a-b)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos b-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}b\cdot \cos a$

Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade $a-b=a+(-b)$ e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

• $\tan (a-b)=\tan [a+(-b)]=\frac{\tan a+\tan (-b)}{1-\tan a\cdot \tan (-b)}$

Simplificando, temos:

   $\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\cdot \tan b}$

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se $a\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,b\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ e $a-b\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade $a-b=a+(-b)$ e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

• $\cot (a-b)=\cot [a+(-b)]=\frac{\cot a\cdot \cot (-b)-1}{\cot a+\cot (-b)}$

Logo, obtemos a identidade:

    $\cot (a-b)=\frac{\cot a\cdot \cot b+1}{\cot b-\cot a}$

Está fórmula só pode ser aplicada se $a\ne k\pi ,b\ne k\pi$ e $a-b\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Exemplos

• Calcule:

$\left(1\right)$ $\cos 15^{\circ }:$ $\left(2\right)$ $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}15^{\circ }:$ $\left(3\right)$ $\cot 15^{\circ }$

• • Resolução

$\left(1\right)$ $\cos 15^{\circ }=\cos 15^{\circ }(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos 45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}45^{\circ }\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\left(2\right)$ $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}15^{\circ }=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}15^{\circ }(45^{\circ }-30^{\circ })=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}45^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\left(3\right)$ $\cot 15^{\circ }=\cot 15^{\circ }(60^{\circ }-45^{\circ })=\frac{\cot 60^{\circ }\cdot \cot 45^{\circ }+1}{\cot 45^{\circ }-\cot 60^{\circ }}$ $=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}$

• Dados $\tan \alpha =1$ e $\tan \beta =\frac{1}{2},$ calcule $\tan (\alpha -\beta ).$

• • Resolução

$\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ $=\frac{1-\frac{1}{2}}{1+1\cdot \frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $2a,3a,...,$ utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo $2a=a+a,3a=2a+a,...,$ conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

• $\cos 2a=\cos (a+a)=\cos a\cdot \cos a-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a={\cos }^{2}a-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a$

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

    $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1$
     ou                  
    $\cos 2a=1-2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a$

• $\cos 3a=\cos (2a+a)=\cos 2a\cdot \cos a-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a$

$=(2{\cos }^{2}a-1)\cdot \cos a-(2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cos a)\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a$ $=(2{\cos }^{2}a-1)\cdot \cos a-2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a\cdot \cos a$

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

    $\cos 3a=4{\cos }^{3}a-3\cos a$

Expressões para $\cos 4a,\cos 5a,...$ são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2a=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(a+a)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos a+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos a$

Então, temos:

  $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2a=2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cos a$

• $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}3a=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}(2a+a)=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2a\cdot \cos a+\cos 2a\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a$

$=(2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \cos a)\cdot \cos a+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a(1-2\cdot se{n}^{2}a)$

Utilizando a Identidade relacional básica:

• $=2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot (1-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a)+\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot (1-2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a)$

Logo:

  $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}3a=3\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a-4\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{3}a$

Expressões para $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}4a,\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}5a,...$ são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

• $\tan 2a=\tan (a+a)=\frac{\tan a+\tan a}{1-\tan a\cdot \tan a}$

Logo:

   $\tan 2a=\frac{2\cdot \tan a}{1-{\tan }^{2}a}$

• $\tan 3a=\tan (2a+a)=\frac{\tan 2a+\tan a}{1-\tan 2a\cdot \tan a}$

Ao subtituimos a fórmula anterior para $\tan 2a$ e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

  $\tan 3a=\frac{3\cdot \tan a-{\tan }^{3}a}{1-3\cdot {\tan }^{2}a}$

Expressões para $\tan 4a,\tan 5a,...$ são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

• Se $\cot x=\frac{5}{3}$ e $0<x<\frac{\pi }{2},$ calcule $\cos 2x.$

• • Resolução

Precisamos encontrar $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x$ para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade ${\csc }^{2}x=1+{\cot }^{2}x,$ que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que $\csc x=\frac{1}{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x}.$ Como $0<x<\frac{\pi }{2},$ o valor da cossecante é positivo.

$\csc x=\sqrt{1+{\cot }^{2}x}=\sqrt{1+\frac{25}{9}}=\sqrt{\frac{34}{9}}=\frac{\sqrt{34}}{3}$

De onde vem $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=\frac{3}{\sqrt{34}}.$

Podemos finalmente calcular:

$\cos 2x=1-2\cdot si{n}^{2}x=1-2\cdot \frac{9}{34}=1-\frac{18}{34}=\frac{8}{17}.$

Bissecção de arcos

Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para $\cos 2a$ a fim de que, dado o cosseno de uma arco $x$ qualquer, possamos obter $\cos \frac{x}{2},\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}$ ou $\tan \frac{x}{2}.$ Para isto, consideraremos $2a=x.$

A partir de $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1:$

• $\cos x=2\cdot {\cos }^2\frac{x}{2}-1$

   $\Rightarrow \cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

A partir de $\cos 2a=1-2\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}a,$ temos:

• $\cos x=1-2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^2\frac{x}{2}$

   $\Rightarrow \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

Finalmente, sabendo que $\tan x=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x}{\cos x},$ temos:

• $\tan \frac{x}{2}=\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$

  $\Rightarrow \tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$

Seno

Caso nos seja dado o $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x,$ sabendo que $\cos x=\pm \sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}x},$ calculamos $\cos x$ e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x,$ $\cos x$ e $\tan x,$ conhecida a $\tan \frac{x}{2}.$ Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}2a=2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cos a=2\cdot \mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a\cdot \frac{{\cos }^{2}a}{\cos a}=2\cdot \frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}a}{\cos a}\cdot \frac{1}{{\sec }^{2}a}=\frac{2\cdot \tan a}{1+{\tan }^{2}a}$

$\tan 2a=\frac{2\cdot \tan a}{1-{\tan }^{2}a}$

e consideraremos $2a=x,$ de modo que:

      $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=\frac{2\cdot \tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$

      $\tan x=\frac{2\cdot \tan \frac{x}{2}}{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}$

      $\cos x=\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}$

Exemplos

• Se $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=\frac{4}{5},$ com $0<x<\frac{\pi }{2},$ calcule as funções circulares de $\frac{x}{2}.$

• • Resolução

$\cos x=\sqrt{1-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}{}^{2}x}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

Logo, temos:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{1}{5}}:$ $\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}:$ $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$

• Se $\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{4},$ determine $\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x.$

• • Resolução

Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

$\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}x=\frac{2\cdot \tan \frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{1+\frac{1}{16}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}}=\frac{8}{17}$

Exercícios

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