Álgebra linear/Espaços vetoriais

Definição

Um espaço vetorial é formado por:

1. Um conjunto qualquer $V,$ cujos elementos serão chamados de vetores;
2. Um corpo $K,$ cujos elementos serão denominados escalares, com elementos neutros distintos 0 e 1;
3. Uma operação $+:V+V\to V,$ conhecida como adição de vetores;
4. Uma operação $*:K\times V\to V,$ chamada de multiplicação por escalar.

Neste wikilivro, será escrito simplesmente $\alpha v$ para denotar $\alpha *v.$

Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

Exemplos

• ${ℝ}^2$, ${ℝ}^3$ e, mais geralmente, ${ℝ}^n$, são espaços vetoriais reais (sobre o corpo $ℝ$), quando munidos da soma e multiplicação por escalar usuais.
• O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre $ℝ.$
• $ℝ$ é um espaço vetorial sobre $ℝ.$
• Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kⁿ.
• Seja $n\in \mathbb{N}$ um número qualquer. O conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a $n$ é um espaço vetorial, onde consideramos a soma de dois polinômios como a soma dos coeficientes de mesmo grau e a multiplicação por escalar como a multiplicação de cada coeficiente pelo escalar em questão.
• Seja $\mathbb{N}$ o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio ${\mathbb{N}}^{*}$ e contradomínio $ℝ.$ Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir

(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)

(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).

Ou seja, foram definidas as operações de soma de vetores e produto de um escalar por um vetor em S. Como exercício, podem-se provar os axiomas, mostrando que S é um espaço vetorial. Este espaço vetorial é tão importante que tem um nome: ele é o espaço vetorial das sequências de números reais.

• O exemplo acima pode ser generalizado. Seja K um corpo qualquer, e I um conjunto qualquer (a letra I é porque este conjunto será chamado de conjunto de índices). Então o conjunto K^I, das funções de domínio I e contra-domínio K, torna-se naturalmente um espaço vetorial definindo-se para $f,g\in K^I,$ $\lambda \in K:$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

$(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$

O fato de um conjunto ser ou não um espaço vetorial depende fortemente das operações envolvidas. O próximo exemplo ilustra esta questão:

Exemplo: Verifique se $({ℝ}^2,\oplus ,.)$, munido das operações

$\{\begin{array}{cc}(x_1,y_1)\oplus (x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)& \\ k.(x_1,y_1)=(-k{x}_1,-k{y}_1)\end{array}$

é um espaço vetorial.

Com efeito, observe inicialmente que a a soma em questão é a usual. Logo, satisfaz as propriedades de espaço vetorial. Iremos provar que a a multiplicação por escalar não satisfaz o seguinte propriedade de espaço vetorial:

$1\cdot u=u$

De fato, se $u=(x_1,y_1)$, então $1.u=1(x_1,y_1)=(-1x_1,-1y_1)=(-x_1,-y_1)\ne (x_1,y_1)$. Portanto, ${ℝ}^2$, munido destas operações, não é um espaço vetorial.

Subespaços vetoriais

Definição

Seja $V$ um espaço vetorial sobre o corpo $K.$ Um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto $W$ que também é um espaço vetorial sobre $K,$ com as mesmas operações (adição e multiplicação por escalar) de $V.$

Equivalentemente, um subespaço vetorial de $V$ é um subconjunto não-vazio $W$ fechado em relação às operações de adição e multiplicação por escalar, ou seja, um subconjunto tal que

1. Para todos $u,v\in W$ tem-se $u+v\in W;$
2. Para qualquer escalar $\lambda \in K$ e para todo $u\in W$ tem-se $\lambda u\in W.$

Exemplo: Seja $F=\{(x,2x,3x):x\in ℝ\}$. Provemos que $F$ é um subespaço vetorial.

1. O subconjunto $F$ é não-vazio, uma vez que o vetor nulo pertence a $F$. $$F\ne \mathrm{\varnothing },\text{ pois }\overrightarrow{0}=(0,0,0)=(0,2.0,3.0)$$
2. O subconjunto $F$ é fechado em relação à soma. Considere os vetores $u$ e $v$ abaixo: $$u=(x_1,2x_1,3x_1)v=(x_2,2x_2,3x_2)$$A soma desses dois vetores resulta no vetor$$u+v=(x_1+x_2,2x_1+2x_2,3x_1+3x_2)$$O vetor resultante da soma de $u$ e $v$ ainda se encontra presente em $F$, pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.
3. O subconjunto $F$ é fechado em relação à multiplicação por escalar. Considere novamente o vetor $u$ abaixo: $$u=(x_1,2x_1,3x_1)$$A multiplicação de $u$ por um escalar $\alpha \in ℝ$ resultará em: $$\alpha .u=(\alpha .x_1,\alpha .2x_1,\alpha .3x_1)$$O vetor resultante dessa multiplicação ainda se encontra presente no subespaço $F$, pois a segunda coordenada continua sendo o dobro da primeira e a terceira coordenada, o triplo da primeira.

Combinação linear

Definições

Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos.

Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).

Propriedades

• Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v₁ = x e λ = 1, de forma que x = λ v₁
• Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou $x={\lambda }_1{v}_1+\dots {\lambda }_n{v}_n.$ Então $\lambda x=(\lambda {\lambda }_1)v_1+\dots (\lambda {\lambda }_n)v_n).$
• Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
  • Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
  • No caso geral, $x={\lambda }_1{v}_1+\dots +{\lambda }_n{v}_n$ e $y={\mu }_1{w}_1+\dots +{\mu }_m{w}_m.$ Então definindo
    ${\eta }_1={\lambda }_1,\dots {\eta }_n={\lambda }_n,{\eta }_{n+1}={\mu }_1,\dots {\eta }_{n+m}={\mu }_m$ e
    $u_1=v_1,\dots u_n=v_n,u_{n+1}=w_1,\dots u_{n+m}=w_m,$ temos que
    $x+y={\eta }_1{u}_1+\dots +{\eta }_{n+m}{u}_{n+m}$
• Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço

Dependência e Independência linear

Quando temos um número finito de vetores $v_1,\dots ,v_n,$ é comum dizer que os vetores $v_1,\dots ,v_n$ são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto $S=\{v_1,\dots ,v_n\}$ é linearmente dependente (ou independente).

Propriedades

• Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
• Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
• Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
• Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
• Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
• A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
• A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
• A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.

Espaço gerado

Exemplos

• Em qualquer espaço vetorial V, o espaço vetorial gerado pelo conjunto vazio é o subespaço vetorial { 0 }. Analogamente, o espaço vetorial gerado pelo conjunto V é o próprio V
• Em ${ℝ}^2,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo é uma reta que passa pela origem
• Em ${ℝ}^3,$ o espaço vetorial gerado por um vetor não-nulo também é uma reta que passa pela origem
• Em ${ℝ}^2,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é todo o ${ℝ}^2$
• Em ${ℝ}^3,$ o espaço vetorial gerado por dois vetores não-nulos, em que um deles não é múltiplo do outro, é um plano que passa pela origem

Definição através de conjuntos

Seja S um conjunto de vetores de V. Pode-se perguntar qual é o menor subespaço vetorial de V que contém S. Para ser mais preciso, temos o seguinte:

• V é um subespaço vetorial de V que contém S
• A interseção de subespaços vetoriais de V que contém S também é um subespaço vetorial de V

Ou seja, seja K o conjunto (não vazio, porque $V\in K$) definido por:

• $K=\{W\subseteq V|(W\text{ subespaco vetorial de }V)\wedge S\subseteq W\}$

e seja $\overline{S}$ definido por:

• $\overline{S}=\bigcap _{X\in K}X$

Teorema

Nas condições definidas acima, $\overline{S}$ é o subespaço vetorial gerado por S.

Bases

Seja V um espaço vetorial e B uma base de V. Suponha que um vetor $v\in V$ seja escrito como combinação linear de vetores de B de duas formas diferentes: $v={\lambda }_1{u}_1+\dots +{\lambda }_n{u}_n={\mu }_1{w}_1+\dots +{\mu }_m{w}_m.$ O que pode ser dito a respeito dos λ e μ? O que pode ser dito a respeito dos u_i e w_j? A resposta é que, de certa maneira, eles são únicos.

Ver também

Wikipédia

• Espaço vetorial
• Subespaço vetorial
• Independência linear
• Espaço vetorial gerado
• Base