Matemática elementar/Conjuntos/Números complexos

O conjunto dos números complexos $ℂ$ é a extensão dos números reais. Esta extensão é toda construída a partir de um elemento novo, a unidade imaginária $i$. Tipicamente, números deste conjunto são designados por z, mas é permitido utilizar qualquer signo para representá-los.

O número imaginário

A unidade imaginária i - que define os números complexos - tem o valor de Predefinição:Math. Para esta, então, podemos considerar todas as regras de radiciação. Observe o exemplo abaixo:

$\sqrt{-4}=\sqrt{4}\sqrt{-1}=\pm 2i$

Desta forma, raízes negativas podem ser facilmente reduzidas a um número complexo. Esta característica é muito utilizada para descobrir raízes de funções em que o discriminante é menor que zero. Por exemplo, as raízes de f(x) = x² + 9 são dadas por

$f(0)=\frac{\pm \sqrt{-4\times 1\times 9}}{2}=\frac{\pm \sqrt{-36}}{2}=\frac{\pm \sqrt{36}\sqrt{-1}}{2}=\frac{\pm 6i}{2}=\pm 3i$

A oposição entre o afixo e o conjugado.

Soma por um número real

A soma de um número imaginário por um número real origina o afixo do número complexo z. Desta forma, em um número complexo z cujo afixo é dado por a + bi, teremos a como a parte real (denotada por Re), e b a parte imaginária (denotada por Im). Desta forma, teremos:

• b igual a zero para um número real qualquer;
• a igual a zero para um número imaginário puro qualquer.

Já para a - bi, teremos o conjugado do número complexo. O conjugado de um número complexo z é dado por z. Por exemplo, o conjugado do número z = 2 - i é

$\bar{z}=2-(-i)$

Que resulta em z = 2 + i.

Operações com os complexos

Soma e subtração

O seguinte fragmento resume a soma e a subtração dos números complexos: Predefinição:Ênfase Por exemplo, considere os números complexos z₁ e z₂, para z₁ = -2 + 4i e z₂ = -3 - i, então z₁ + z₂ =

$\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}=-2+(-3)=-5\\ \mathrm{Im}=4i+(-i)=3i\end{array}$

Conclui-se a soma pela obtenção de -5 + 3i.

A subtração pode ser deduzida a partir da adição. Veja a diferença entre z₁ e z₂:

$\{\begin{array}{c}\mathrm{Re}=-2-(-3)=1\\ \mathrm{Im}=4i-(-i)=5i\end{array}$

Que é igual a 1 + 5i.

Multiplicação

A própria definição do conjunto dos números complexos reside na multiplicação. Assim, definimos o conjunto dos números complexos como tendo a seguinte operação de multiplicação: Predefinição:Ênfase Na prática, isto resume-se na multiplicação distributiva:

$z_1{z}_2=(a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)=a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+a_2{b}_{1}i+b_1{b}_2{i}^2$

Exemplo: z₁z₂, para z₁ = 2 + i e z₂ = -1 + 2i:

$z_1{z}_2=-2+4i-i+2i^2=-2+3i+2i^2=-2+(3+2i)i$

Potenciação

Você deve ter notado a presença de expoente acima da unidade imaginária no exemplo anterior. A potência pode e deve ser resolvida. Facilmente ela pode ser deduzida. Veja:

$i^0=1$

$i^1=\sqrt{-1}$

$i^2=(\sqrt{-1}{)}^2=-1$

$i^3=i^2{i}^1=-1\sqrt{-1}=-i$

Para expoentes maiores que três (x), a seguinte operação é válida:

$i^x=i^{x-4k-1}=i^y$

Em que k é o maior inteiro possível para {y ∈ N| 0 ≤ y ≤ 3}. Por exemplo, i²⁰:

$i^{20}=i^{20-4k-1}=i^{19-4k}=i^{19-16}=i^3=-i$

Divisão

A divisão de números complexos pode ser feita pelo método da chave. Entretanto, esta última muitas vezes pode ser demorada até que se obtenha resto igual a zero. Geralmente, o método aplicado consiste na multiplicação do denominador e numerador pelo conjugado do divisor. Exemplo:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2+3i}{-1+2i}$

O conjugado do divisor é igual a -1 - 2i. Portanto:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1}{z_2}\times \frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}=\frac{2+3i}{-1+2i}\times \frac{-1-2i}{-1-2i}=\frac{-2-4i-3i-6i^2}{(-1{)}^2-(2i{)}^2}=\frac{4-7i}{5}$

Representação geométrica

É denominado de norma de um complexo z, dado por $z=a+bi$ , o quadrado da parte real somada ao quadrado da parte imaginária, ou seja, $N(z)=a^2+b^2$.

E, denomina-se módulo (ou valor absoluto) de z, ao seguinte real e positivo:

$|z|=\surd N(z)=\surd (a^2+b^2)$

Veja o módulo que trata sobre o plano de Argand-Gauss.

Veja também

Uma abordagem mais avançada dos números complexos pode ser vista no livro Análise complexa/Introdução.