Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E2

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Enunciado

Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Dados do problema

r1	12 cm
r2	12.6 cm
l	30 cm
ω0	60 rpm
Ω	9.0 kg.cm
μ0	a calcular

Solução

Esse problema já foi resolvido anteriormente, considerando-se valores médios para todas as variáveis, tendo-se obtido o valor de 0.025 kg.s/m². Com a equação obtida para o fluxo entre dois cilindros para a tensão cisalhante τ_rΘ e a velocidade v_Θ:

${\tau }_{r\theta }=\frac{2{\mu }_0{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}\frac{1}{r^2}$

$v_{\theta }=\frac{{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}(r-\frac{R^2}{r})$

podemos escrever que a potência mecânica requerida para girar o cilindro será dada por

$P=\int dP=\int v_{\theta }d{F}_{r\theta }=\int v_{\theta }{\tau }_{r\theta }d{A}_{r\theta }$

$P=\int \left[\frac{{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}(r-\frac{R^2}{r})\right]\left[\frac{2{\mu }_0{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}\frac{1}{r^2}\right]\left[ldr\right]$

$P=\frac{2l{\mu }_0{\omega }_0^2{r}_1^2}{{(1-{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2)}^2}\underset{r1}{\overset{r2}{\int }}(\frac{1}{r}-\frac{r_1^2}{r^3})dr$

$P=\frac{2l{\mu }_0{\omega }_0^2{r}_1^2}{{(1-{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2)}^2}{[\ln r+\frac{r_1^2}{2r^2}]|}_{r1}^{r2}$

$P=\frac{2l{\mu }_0{\omega }_0^2{r}_1^2}{{(1-{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2)}^2}[\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)+\frac{1}{2}({\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2-1)]$

Assim, como P = Ωω₀,

${\mu }_0=\frac{\mathrm{\Omega }{(1-{\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2)}^2}{2{\omega }_{0}l{r}_1^2[\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)+\frac{1}{2}({\left(\frac{r_1}{r_2}\right)}^2-1)]}$

$=\frac{9.0kg\cdot cm\cdot {(1-{\left(\frac{12.0cm}{12.6cm}\right)}^2)}^2}{2\cdot 60rpm\cdot 30cm\cdot (12.0cm{)}^2\cdot [\ln \left(\frac{12.6cm}{12.0cm}\right)+\frac{1}{2}({\left(\frac{12.0cm}{12.6cm}\right)}^2-1)]}$

$=\frac{0.090kg\cdot m\cdot {(1-{\left(\frac{12.0cm}{12.6cm}\right)}^2)}^2}{2\cdot 60\cdot \frac{2\cdot 3.1}{60}rd/s\cdot 0.30m\cdot (0.12m{)}^2\cdot [\ln \left(\frac{12.6cm}{12.0cm}\right)+\frac{1}{2}({\left(\frac{12.0cm}{12.6cm}\right)}^2-1)]}$

$=6.3kg\cdot s/m^2$