Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/A1

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Enunciado

Um cilindro de 12 cm de raio gira no interior de outro, que está fixo, e cujo raio mede 12.6 cm. Os eixos dos cilindros são concêntricos e ambos têm 30 cm de comprimento. É necessário aplicar um torque de 9.0 kg.cm para manter a velocidade de rotação em 60 rpm. Determinar a viscosidade do fluido que preenche o espaço entre os cilindros.

Dados do problema

r1	12 cm
r2	12.6 cm
l	30 cm
ω1	60 rpm
ω2	0 rpm
Ω	9.0 kg.cm
μ	a calcular

Solução 1

Como o espaço entre os cilindros é pequeno perante as demais dimensões do problema, vamos considerar valores médios para todas as variáveis. Além disso, aproximaremos dv/dy nesse espaço por Δv/Δy.

O torque aplicado gera uma tensão na superfície do fluido que está em contato com o cilindro móvel. O torque é dado pelo produto da força aplicada aos cilindros pelo raio vetor; a força, por sua vez, é o produto da tensão pela área de aplicação:

$\mathrm{\Omega }=\tau \cdot \overline{A}\cdot \overline{r}\Rightarrow \tau =\frac{\mathrm{\Omega }}{\overline{A}\cdot \overline{r}}=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi \overline{r}l\cdot \overline{r}}$

A velocidade tangencial do cilindro móvel é

$v_1={\omega }_1{r}_1$

Essa é a velocidade do fluido que está em contato com a superfície do cilindro, onde a tensão τ é aplicada. A velocidade na outra superfície é nula. Essas superfícies distam Δr = r₂ - r₁ uma da outra. A viscosidade do fluido será então dada por

$\mu =\frac{\tau }{\frac{v_1}{\mathrm{\Delta }r}}=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi \overline{r}l\cdot \overline{r}\cdot \frac{{\omega }_1{r}_1}{r_2-r_1}}=\frac{\mathrm{\Omega }(r_2-r_1)}{2\pi r_{1}l{\omega }_1{\overline{r}}^2}=\frac{\mathrm{\Omega }(r_2-r_1)}{2\pi r_{1}l{\omega }_1(\frac{r_2+r_1}{2}{)}^2}$

$\mu =\frac{2\mathrm{\Omega }(r_2-r_1)}{\pi r_{1}l{\omega }_1(r_1+r_2{)}^2}$

$=\frac{2\cdot 9.0kg\cdot cm\cdot (12.6cm-12cm)}{\pi \cdot 12cm\cdot 30cm\cdot 60rpm\cdot (12cm+12.6cm{)}^2}$

$=\frac{2\cdot 0.09kg\cdot m\cdot (0.126m-0.12m)}{\pi \cdot 0.12m\cdot 0.3m\cdot \frac{60\cdot 2\pi rad}{60s}\cdot (0.12m+0.126m{)}^2}$

$=0.025kg\cdot s/m^2$

Solução 2

Para um valor mais preciso, vamos considerar a tensão τ e a velocidade v como funções da posição r:

$\mathrm{\Omega }=\tau \cdot A\cdot r\Rightarrow \tau =\frac{\mathrm{\Omega }}{A\cdot r}=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi r^{2}l}$

Mas

$\tau =\mu \frac{dv}{dr}\Rightarrow dv=\frac{1}{\mu }\tau dr=\frac{1}{\mu }\cdot \frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi r^{2}l}dr$

Logo

$v_1-v_2={\int }_{v_2}^{v_1}dv=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi l\mu }{\int }_{r_2}^{r_1}\frac{1}{r^2}dr$

$v_1-0=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi l\mu }{\cdot \frac{1}{r}|}_{r_2}^{r_1}=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi l\mu }(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$

Assim

$\mu =\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi l{v}_1}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})=\frac{\mathrm{\Omega }}{2\pi l{\omega }_1{r}_1}(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$

$=\frac{0.09kg\cdot m}{2\pi \cdot 0.3m\cdot 2\pi rad\cdot s^{-1}\cdot 0.12m}(\frac{1}{0.12m}-\frac{1}{0.126m})$

$=0.025kg\cdot s/m^2$

O valor indica que a simplificação considerada na Solução 1 era razoável.