Mecânica dos fluidos/Fluxo laminar do líquido Newtoniano

Quando o fluido não pode ser aproximado pelo modelo do fluido ideal, e sim pelo modelo do líquido Newtoniano, devem ser usadas as as equações de Navier-Stokes. Em algumas situações onde a geometria do problema é simples e o fluxo é laminar, existe uma solução analítica para essas equações. O fluxo laminar é caracterizado pela sua espessura h₀.

Fluxo plenamente desenvolvido entre duas placas planas

A configuração geométrica mais simples possível de um escoamento ocorre quando o líquido flui entre duas placas paralelas infinitas. Por exemplo, em muitas situações práticas, óleo lubrificante flui por um intervalo entre um cilindro e um pistão; como o intervalo de escoamento é muito pequeno, com relação às demais dimensões, o problema pode ser modelado como um fluxo entre duas placas planas infinitas. Nesses casos, h₀ é a espessura do intervalo. A escolha natural é o eixo X na direção do fluxo e o eixo Z na vertical. Como sabemos, a velocidade é nula nas paredes. Assim,

$v_x(0)=v_x(h_0)=0$

Além disso, como o escoamento está plenamente desenvolvido,

$\frac{\partial v_x}{\partial x}=0$

e, por simetria,

$\frac{\partial v_x}{\partial y}=0$

$v_y=v_z=0$

Além disso, o escoamento está em regime estacionário, ou seja, nenhuma propriedade varia no tempo

$\frac{\partial \eta }{\partial t}=0$

A equação da continuidade, nessas condições, se torna

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=0\Rightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0\Rightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x}+0+0=0$

A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X simplifica-se para

$-\frac{\partial p}{\partial x}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})+{\rho }_0{g}_x={\rho }_0(v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$-\frac{\partial p}{\partial x}+{\mu }_0(0+0+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})+0={\rho }_0(0+0+0+0)$

${\mu }_0\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2}=\frac{\partial p}{\partial x}$

Na igualdade acima, o lado esquerdo é uma função de z, somente, e o lado direito, uma função somente de x. Para que isso seja verdadeiro para todo x e z, é preciso que ambos sejam iguais a uma constante. Assim

${\mu }_0\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2}=k_1\Rightarrow {\mu }_0\frac{\partial v_x}{\partial z}=k_{1}z+k_2\Rightarrow {\mu }_0{v}_x=\frac{k_1}{2}{z}^2+k_{2}z+k_3$

$v_x(0)=0\Rightarrow k_3=0$

$v_x(h_0)=0\Rightarrow \frac{k_1}{2}{h}_0^2+k_2{h}_0=0\Rightarrow k_2=-\frac{k_1{h}_0}{2}$

Assim

$v_x=\frac{1}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}(z^2-h_{0}z)$

As equações para os demais eixos simplificam-se da seguinte forma:

$-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial z^2})+{\rho }_0{g}_z={\rho }_0(v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial t})$

$-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0(0+0+0)+0={\rho }_0(0+0+0+0)$

$\frac{\partial p}{\partial z}={\rho }_{0}g\Rightarrow p=\rho gz+k_4$

$-\frac{\partial p}{\partial y}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial z^2})={\rho }_0(v_y\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$0+{\mu }_0(0+0+0)={\rho }_0(0+0+0+0)$

As equações de Navier-Stokes, uma vez resolvidas, nos informam que:

1. a pressão varia de forma hidrostática no sentido do eixo Z;
2. a pressão varia de forma contínua no sentido do eixo X;
3. o perfil de velocidades ao longo do eixo Z assume a forma de uma parábola;

A variação da pressão ao longo do eixo X se dá porque a viscosidade do fluido provoca uma perda de carga devido ao atrito com as paredes. Curiosamente, a variação da velocidade ao longo desse eixo não faz com que a pressão varie de forma similar; a variação de pressão nesse sentido deve-se apenas ao efeito da gravidade. É a variação da velocidade ao longo do eixo Z que está relacionada com a variação da pressão ao longo do eixo X.

Uma vez obtidas as velocidades, podemos calcular as tensões a partir das relações

${\tau }_{xy}={\mu }_0\frac{\partial v_y}{\partial x}=0$

${\tau }_{xz}={\mu }_0\frac{\partial v_z}{\partial x}=0$

${\tau }_{yx}={\mu }_0\frac{\partial v_x}{\partial y}=0$

${\tau }_{yz}={\mu }_0\frac{\partial v_z}{\partial y}=0$

${\tau }_{zx}={\mu }_0\frac{\partial v_x}{\partial z}={\mu }_0\frac{\partial }{\partial z}(\frac{1}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}(z^2-h_{0}z))=\frac{1}{2}\frac{\partial p}{\partial x}(2z-h_0)$

${\tau }_{zy}={\mu }_0\frac{\partial v_y}{\partial z}=0$

As equações acima mostram que só estão presentes tensões no sentido do eixo X, devidas à pressão exercida no eixo Z. A tensão é nula no centro do fluxo, onde $z=\frac{h_0}{2}$. Nesse ponto, a velocidade é máxima

$v_x\left(\frac{h_0}{2}\right)=\frac{1}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}({\left(\frac{h_0}{2}\right)}^2-h_0\frac{h_0}{2})=\frac{h_0^2}{8{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}$

A velocidade é positiva, porque $\frac{\partial p}{\partial x}$ é negativa (a pressão vai diminuindo no sentido do fluxo).

A vazão é dada por

$\mathrm{\Phi }=\underset{A}{\int }{v}_{x}dA=\underset{A}{\int }{v}_{x}dzdy=W\underset{0}{\overset{h_0}{\int }}{v}_{x}dz$

onde W é a largura das placas. Assim,

$\mathrm{\Phi }=W\underset{0}{\overset{h_0}{\int }}\frac{1}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}(z^2-h_{0}z)dz=\frac{W}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}{(\frac{z^3}{3}-\frac{h_0{z}^2}{2})|}_0^{h_0}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{W}{2{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}(\frac{h_0^3}{3}-\frac{h_0^3}{2})=-\frac{W{h}_0^3}{12{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}$

A vazão é positiva, porque $\frac{\partial p}{\partial x}$ é negativa. A velocidade média será

${\overline{v}}_x=\frac{\mathrm{\Phi }}{A}=\frac{-\frac{W{h}_0^3}{12{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}}{W{h}_0}=-\frac{h_0^2}{12{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}$

que também é positiva. Verifica-se, assim, que a velocidade máxima é 50% superior à velocidade média.

De acordo com resultados experimentais, nesse tipo de problema, o escoamento se mantém laminar somente até valores muito limitados do número de Reynolds (tipicamente, 1400). O valor constante de $\frac{\partial p}{\partial x}$ pode ser obtido facilmente medindo-se a perda de carga ao longo de um trecho de comprimento L e fazendo $\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}$

Fluxo livre em um plano inclinado

A expressão fluxo livre significa que a única ação externa a que o fluido está sujeito é aquela devida ao seu próprio peso. A melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos g_x e g_z essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em v_z = v_y = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer,

$\frac{\partial \eta }{\partial y}=0$

Neste caso, a equação de continuidade nos dá

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=0\Rightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}=0\Rightarrow \frac{\partial v_x}{\partial x}+0+0=0$

A equação de Navier-Stokes referente ao eixo X, neste caso, simplifica-se para

$-\frac{\partial p}{\partial x}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})+{\rho }_0{g}_x={\rho }_0(v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$-0+{\mu }_0(0+0+\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2})+{\rho }_{0}g\sin \theta ={\rho }_0(0+0+0+0)\Rightarrow {\mu }_0\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2}=-{\rho }_{0}g\sin \theta$

A variação da pressão ao longo do eixo X é nula, porque o líquido tem uma superfície livre e, portanto, à pressão atmosférica. Em outras palavras, p(x,y,0) = constante para todos os valores de x e de y.

Similarmente, para o eixo Y

$-\frac{\partial p}{\partial y}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_y}{\partial z^2})={\rho }_0(v_y\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$0+{\mu }_0(0+0+0)={\rho }_0(0+0+0+0)$

E, para o eixo Z

$-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0(\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial z^2})+{\rho }_0{g}_z={\rho }_0(v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial t})$

$-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0(0+0+0)+{\rho }_{0}g\cos \theta ={\rho }_0(0+0+0+0)\Rightarrow \frac{\partial p}{\partial z}={\rho }_{0}g\cos \theta$

Integrando a primeira equação, teremos

${\mu }_0\frac{{\partial }^2{v}_x}{\partial z^2}=-{\rho }_{0}g\sin \theta \Rightarrow v_x=-\frac{{\rho }_{0}g\sin \theta }{2{\mu }_0}{z}^2+k_{1}z+k_2$

Mas não pode haver fluxo em z = 0 (adjacente ao plano), nem tensões em z = - h₀ (superfície do fluido), portanto

$v_x(0)=0\Rightarrow k_2=0$

$\frac{\partial v_x}{\partial z}(-h_0)=0\Rightarrow \frac{{\rho }_{0}g\sin \theta }{{\mu }_0}{h}_0+k_1=0$

Portanto

$v_x=-\frac{{\rho }_{0}g\sin \theta }{{\mu }_0}(\frac{z^2}{2}+h_{0}z)$

A equação que descreve o campo de tensões é, então, a seguinte

${\tau }_{zx}={\mu }_0\frac{\partial v_x}{\partial z}=-{\rho }_{0}g\sin \theta (z+h_0)$

A tensão nos pontos ajdacentes ao plano inclinado será

${\tau }_{zx}(0)=-{\rho }_{0}g\sin \theta (0+h_0)=-{\rho }_{0}g{h}_0\sin \theta$

o valor negativo indicando que ela aponta na direção negativa do eixo X, ou seja, é contrária ao fluxo. A vazão volumétrica será

$\mathrm{\Phi }=\underset{Ax}{\int }{v}_{x}dzdy=W\underset{-h0}{\overset{0}{\int }}-\frac{{\rho }_{0}g\sin \theta }{{\mu }_0}(\frac{z^2}{2}+h_{0}z)dz$

onde W é a largura do plano. Assim,

$\mathrm{\Phi }=\frac{{\rho }_{0}gW\sin \theta }{{\mu }_0}\underset{-h0}{\overset{0}{\int }}-(\frac{z^2}{2}+h_{0}z)dz=\frac{{\rho }_{0}gW\sin \theta }{{\mu }_0}{(\frac{z^3}{6}+\frac{h_0{z}^2}{2})|}_0^{-h0}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{{\rho }_{0}gW\sin \theta }{{\mu }_0}(-\frac{h_0^3}{6}+\frac{h_0^3}{2})=\frac{{\rho }_{0}gW{h}_0^3\sin \theta }{3{\mu }_0}$

Podemos calcular também a velocidade média

${\overline{v}}_x=\frac{\mathrm{\Phi }}{A_x}=\frac{\frac{{\rho }_{0}gW{h}_0^3\sin \theta }{3{\mu }_0}}{W{h}_0}=\frac{{\rho }_{0}g{h}_0^2\sin \theta }{3{\mu }_0}$

Quanto à segunda equação

$\frac{\partial p}{\partial z}={\rho }_{0}g\cos \theta$

Ela nos fornece informação a respeito do campo de pressões, informação esta que coincide com aquela derivável da análise estática.

Fluxo livre entre dois cilindros concêntricos girantes

Consideremos agora dois cilindros verticais concêntricos, com o cilindro exterior girando a uma velocidade constante ω₀ e com um fluido Newtoniano no espaço entre eles. Dessa maneira, o fluido se movimenta em relação ao cilindro exterior. Chamemos R ao raio do cilindro interior e R + h₀ ao raio do cilindro exterior. A geometria do problema pede o uso de coordenadas colindricas; para que o eixo Z aponte para baixo, a regra da mão direita exige que o ângulo Θ seja medido no sentido horário. Suponhamos que o giro do cilindro maior esteja nesse mesmo sentido, o que fará com que ω₀ seja positiva.

Como vimos anteriormente, as equações básicas em coordenadas cilíndricas são as seguintes:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_r)+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }(v_{\theta })+\frac{\partial }{\partial z}(v_z)=0$

${\rho }_0(\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta }-\frac{v_{\theta }^2}{r}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial z})=$

$={\rho }_0{g}_r-\frac{\partial p}{\partial r}+{\mu }_0[\frac{\partial }{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_r))+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{v}_r}{\partial {\theta }^2}-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{v}_r}{\partial z^2}]$

${\rho }_0(\frac{\partial v_{\theta }}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_{\theta }}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{v_r{v}_{\theta }}{r}+v_r\frac{\partial v_{\theta }}{\partial z})=$

$={\rho }_0{g}_{\theta }-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }+{\mu }_0[\frac{\partial }{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_{\theta }))+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{v}_{\theta }}{\partial {\theta }^2}+\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{{\partial }^2{v}_{\theta }}{\partial z^2}]$

${\rho }_0(\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta }+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})=$

$={\rho }_0{g}_z-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0[\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial v_z}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z}{\partial z^2}]$

A geometria do problema implica em

$g_r=g_{\theta }=0g_z=g\frac{\partial \eta }{\partial \theta }=0$

para qualquer propriedade η. O movimento é unidimensional, portanto v_r = v_z = 0. Como v_Θ = f(r), teremos

$\frac{\partial v_{\theta }}{\partial t}=\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }=\frac{\partial v_{\theta }}{\partial z}=0$

Assim, as equações se simplificam para

$0+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }(v_{\theta })+0=0$

${\rho }_0(0+0+0-\frac{v_{\theta }^2}{r}+0)=0-\frac{\partial p}{\partial r}+{\mu }_0[0+0-0+0]\Rightarrow {\rho }_0\frac{v_{\theta }^2}{r}=\frac{\partial p}{\partial r}$

${\rho }_0(0+0+0+0+0)=0-0+{\mu }_0[\frac{\partial }{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_{\theta }))+0+0+0]\Rightarrow 0=\frac{\partial }{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r{v}_{\theta }))$

${\rho }_0(0+0+0+0)=\rho g-\frac{\partial p}{\partial z}+{\mu }_0[0+0+0]\Rightarrow \rho g=\frac{\partial p}{\partial z}$

Novamente, a última equação traz informação a respeito da variação de pressão que coincide com a proporcionada pela análise estática. A equação de continuidade nos diz simplesmente que a velocidade deve ser constante ao longo do fluxo. Resolvendo a segunda equação:

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r{v}_{\theta })=k_1\Rightarrow \frac{d}{dr}(r{v}_{\theta })=k_{1}r\Rightarrow (r{v}_{\theta })=\frac{k_1}{2}{r}^2+k_2$

$v_{\theta }=\frac{k_1}{2}r+\frac{k_2}{r}$

No ponto adjacente ao cilindro menor (r = R), vΘ = 0, portanto

$0=\frac{k_1}{2}R+\frac{k_2}{R}\Rightarrow k_2=-\frac{k_1}{2}{R}^2$

No ponto adjacente ao cilindro maior (r = R + h₀), vΘ = ω₀r , portanto

${\omega }_0(R+h_0)=\frac{k_1}{2}(R+h_0)+\frac{k_2}{R+h_0}\Rightarrow {\omega }_0=\frac{k_1}{2}-\frac{k_1}{2}{R}^2\frac{1}{(R+h_0{)}^2}$

$k_1=\frac{2{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}$

E assim

$k_2=-\frac{k_1}{2}{R}^2=-\frac{{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}$

Logo, a expressão para a velocidade vΘ é a seguinte:

$v_{\theta }=\frac{{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}r-\frac{{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}\frac{1}{r}=\frac{{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}(r-\frac{R^2}{r})$

A partir dessa expressão, podemos encontrar o valor da tensão cisalhante τ_rΘ

${\tau }_{r\theta }={\mu }_0[r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{v_{\theta }}{r}\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta }]={\mu }_0[r\frac{\partial }{\partial r}(\frac{k_1}{2}+\frac{k_2}{r^2})+0]$

${\tau }_{r\theta }={\mu }_0\left[r(-\frac{2k_2}{r^3})\right]=-\frac{2{\mu }_0{k}_2}{r^2}=\frac{2{\mu }_0{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}\frac{1}{r^2}$

o valor positivo indicando uma tensão na direção do movimento (o cilindro externo arrasta o fluido). Sabemos que a tensão será máxima quando r = R (velocidade nula)

${\tau }_{r\theta }(R)=\frac{2{\mu }_0{\omega }_0{R}^2}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}\frac{1}{R^2}=\frac{2{\mu }_0{\omega }_0}{1-{\left(\frac{R}{R+h_0}\right)}^2}$

Exercícios resolvidos

• E1
• E2
• E3
• E4
• E6

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