Topologia/Grupo livre e apresentação de um grupo

Monóide livre gerado por um conjunto

Sejam $V$ um espaço vetorial e $v_1,\dots ,v_n$ uma base de $V$. Dado qualquer espaço vetorial $W$ e quaisquer elementos $w_1,\dots ,w_n\in W$, existe uma aplicação linear $\phi :V\to W$ tal que $\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\},\phi (v_i)=w_i$. Poderíamos dizer que isto acontece porque os elementos $v_1,\dots ,v_n$ de uma base não estão "relacionados" uns com os outros (formalmente, são linearmente independentes). De fato, se, por exemplo, tivéssemos a relação $v_1=\lambda v_2$ para algum escalar $\lambda$ (e então $v_1,\dots ,v_n$ já não seriam linearmente independentes), então a aplicação linear $\phi$ podia não existir.

Consideremos um problema semelhante com grupos: dado um grupo $G$ gerado por um conjunto $X=\{x_i:i\in I\}\subseteq G$ e dados um qualquer grupo $H$ e um qualquer conjunto $Y=\{y_i:i\in I\}\subseteq H$, existirá sempre um morfismo de grupos $\phi :G\to H$ tal que $\mathrm{\forall }i\in I,\phi (x_i)=y_i$? A resposta é não. Por exemplo, consideremos o grupo $G={\mathbb{Z}}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ que é gerado pelo conjunto $X=\{1\}$, o grupo $Y=ℝ$ (com a operação de adição) e o conjunto $Y=\{2\}$. Se existisse um morfismo de grupos $\phi :{\mathbb{Z}}_n\to ℝ$ tal que $\phi (1)=y$, então $2n=n\phi (1)=\phi (n1)=\phi (0)=0$, o que é impossível. Mas se tivéssemos escolhido $G=\mathbb{Z}$, então tal morfismo de grupos existiria e seria dado por $\phi (t)=2t$. De fato, dado qualquer grupo $H$ e qualquer $y\in H$, temos um morfismo de grupos $\phi :\mathbb{Z}\to H$ definido por $\phi (t)=y^t$ (em notação multiplicativa) que verifica $\phi (1)=y$. De certo modo, podemos pensar que isto acontece porque os elementos do conjunto $X=\{1\}\subseteq \mathbb{Z}$ (que gera $\mathbb{Z}$) não verificam relações como $nx=1$ (como ${\mathbb{Z}}_n$) ou $xy=yx$. Portanto, parece que $\mathbb{Z}$ é um grupo mais "livre" do que ${\mathbb{Z}}_n$.

O nosso objetivo nesta seção vai ser, dado um conjunto $X$, construir um grupo gerado pelo conjunto $X$ e que seja o mais "livre" possível, no sentido de não ter de obedecer a relações como $x^n=1$ ou $xy=yx$. Para isso, vamos começar por definir um monóide "livre" (no mesmo sentido). Informalmente, este monóide vai ser o monóide das palavras escritas com letras do "alfabeto" $X$, onde a identidade vai ser a palavra sem letras (a "palavra vazia"), e a operação binária do monóide vai ser "juntar" duas palavras para forma uma nova palavra. A notação $x_1\dots x_n$ que vamos usar para os elementos deste monóide vai ao encontro da ideia de que os elementos deste monóide são palavras $x_1\dots x_n$ onde $x_1,\dots ,x_n$ são letras do alfabeto $X$. Segue-se a definição formal deste monóide.

Definição Seja $X$ um conjunto.

1. Denotamos os $n$-uplos $(x_1,\dots ,x_n)$ (com $x_1,\dots ,x_n\in X$ e $n\in \mathbb{N}\cup \{0\}$) por $x_1\dots x_n$.
2. Denotamos $()$, isto é, $(x_1,\dots ,x_n)$ com $n=0$, por $1$.
3. Denotamos por $FM(X)$ o conjunto $\{x_1\dots x_n:n\in \mathbb{N}\cup \{0\}\wedge x_1,\dots ,x_n\in X\}$.
4. Definimos em $FM(X)$ a operação de concatenação $\ast$ por $x_1\dots x_m\ast y_1\dots y_n=x_1\dots x_m{y}_1\dots y_n$.

De seguida provamos que este monóide é efetivamente um monóide. Trata-se de um resultado de demonstração simples.

Proposição $(FM(X),\ast )$ é um monóide com elemento neutro $1$.

Demonstração A operação $\ast$ é associativa porque, dados $x_1\dots ,x_m,y_1\dots ,y_n,z_1\dots z_p\in FM(X)$ quaisquer temos

$(x_1\dots x_m\ast y_1\dots y_n)\ast z_1\dots z_m=x_1\dots x_m{y}_1\dots y_n\ast z_1\dots z_m=$ $x_1\dots x_m{y}_1\dots y_n{z}_1\dots z_m=x_1\dots x_m\ast (y_1\dots y_n{z}_1\dots z_m)=x_1\dots x_m(y_1\dots y_n\ast z_1\dots z_m)$.

É óbvio que $(FM(X),\ast )$ tem elemento neutro $1$. $◻$

Seguindo a ideia de que o monóide $(FM(X),\ast )$ é o monóide mais "livre" gerado por $X$, vamos chamar-lhe monóide livre gerado por $X$.

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao monóide (FM(X),*) chamamos monóide livre gerado por $X$.

Exemplos

1. Seja $X=\{x\}$. Então $FM(X)=\{1,x,xx,xxx,\dots \}$ e, por exemplo, $xx\ast xxx=xxxxx$.
2. Seja $X=\{x,y,z\}$. Então $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz\in FM(X)$ e, por exemplo, $xxx\ast yxz=xxxyxz$.

Grupo livre gerado por um conjunto

Passemos agora à construção do grupo mais "livre" gerado por um conjunto $X$. Informalmente, o que vamos fazer é introduzir no monóide $FM(X)$ os elementos inversos que lhe faltam para ser um grupo. Concretizando um pouco mais, vamos tomar um conjunto $\overline{X}$ equipotente a $X$, escolher uma bijecção de $X$ em $\overline{X}$ e deste modo ficar com uma "associação" entre os elementos de $X$ e os elementos de $\overline{X}$. Então encaramos o elemento $x_1\dots x_n\in FM(X)$ (com $x_1,\dots ,x_n\in X$) como tendo o elemento $\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ (com $\overline{x_1},\dots ,\overline{x_n}\in X$) como inverso, onde os $x_1,\dots ,x_n\in X$ estão associados a $\overline{x_1}\dots \overline{x_n}$, respectivamente. Notemos que a ordem dos elementos em $\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ está "invertida" porque o inverso do produto $x_1\dots x_n=x_1\ast \cdots \ast x_n$ tem de ser $x_n^{-1}\ast \cdots \ast x_1^{-1}$, e os $x_1^{-1},\dots ,x_n^{-1}$ serão, respectivamente, os $\overline{x_1},\dots ,\overline{x_n}$. A forma de fazemos com que $\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ seja o inverso de $x_1\dots x_n$ é tomar uma relação de congruência $R$ que identifica $x_1\dots x_n\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ com $1$, e passar $FM(X\cup \overline{X})$ ao quociente por esta relação (definindo depois nesse quociente, de forma natural, a operação binária do grupo, $[u{]}_R\star [v{]}_R=[u\ast v{]}_R$). Ao passarmos ao quociente, estamos a formalizar a ideia intuitiva de identificar $x_1\dots x_n\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ com $1$, pois no quociente temos a igualdade $[x_1\dots x_n\overline{x_n}\dots \overline{x_1}{]}_R=[1{]}_R$. Passemos então à definição formal.

Definição Seja $X$ um conjunto. Tomemos um outro conjunto $\bar{X}$ equipotente a $X$ e disjunto de $X$ e seja $f:X\to \bar{X}$ uma aplicação bijectiva.

1. Para cada $x\in X$ denotemos $f(x)$ por $\overline{x}$, para cada $x\in \bar{X}$ denotemos $f^{-1}(x)$ por $\overline{x}$ e para cada $x_1\dots x_n\in FM(X\cup \bar{X})$ denotemos $\overline{x_n}\dots \overline{x_1}$ por $\overline{x_1\dots x_n}$.
2. Seja $R$ a relação de congruência em $FM(X\cup \bar{X})$ gera por $G=\{(u\ast \overline{u},1):u\in X\cup \bar{X}\}$, isto é, $R$ é a interseção de todas as relações de congruência em $FM(X\cup \bar{X})$ que contêm $G$. Denotamos o conjunto quociente $FM(X\cup \bar{X})/R$ por $FG(X)$.

Frequentemente, por abuso de notação, denotamos um elemento $[u{]}_R\in FG(X)$ simplesmente por $u$.

Uma vez que a operação $[u{]}_R\star [v{]}_R=[u\ast v{]}_R$ que queremos definir em $FM(X\cup \overline{X})/R$ está definida à custa de representantes particulares $u$ e $v$ das classes de equivalência $[u{]}_R$ e $[v{]}_R$, um primeiro cuidado a ter é verificar que a definição não depende dos representantes escolhidos. Trata-se de uma verificação simples.

Lema Seja $X$ um conjunto. Fica bem definida em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u{]}_R\star [v{]}_R=[u_r\ast v_r{]}_R$ (onde $R$ é a relação de congruência de definição anterior).

Demonstração Sejam $u,u^{\prime },v,v^{\prime }\in FM(X)$ quaisquer tais que $[u{]}_R=[u^{\prime }{]}_R$ e $[v{]}_R=[v^{\prime }{]}_R$, isto é, $uR{u}^{\prime }$ e $vR{v}^{\prime }$. Por $R$ se relação de congruência em $FM(X\cup \overline{X})$, temos $u\ast vR{u}^{\prime }\ast v^{\prime }$, isto é, $[u\ast v{]}_R=[u^{\prime }\ast v^{\prime }{]}_R$. $◻$

Visto então que a definição é legítima, apresentamo-la.

Definição Seja $X$ um conjunto. Definimos em $FG(X)$ a operação binária $\star$ por $[u{]}_R\star [v{]}_R=[u_r\ast v_r{]}_R$.

Finalmente, verificamos que o grupo que construímos é efetivamente um grupo.

Proposição Seja $X$ um conjunto. $(FG(X),\star )$ é um grupo com elemento neutro $[1{]}_R$ e onde $\mathrm{\forall }[u{]}_R\in FG(X),{[u{]}_R}^{-1}=[\overline{u}{]}_R$.

Demonstração

1. $(FG(X),\star )$ é associativo porque $\mathrm{\forall }[u{]}_R,[v{]}_R,[w{]}_R\in FG(X),([u{]}_R\star [v{]}_R)\star [w{]}_R=([u\ast v{]}_R)\star [w{]}_R=[(u\ast v)\ast w{]}_R=$ $[u\ast (v\ast w){]}_R=[u{]}_R\star [v\ast w{]}_R=[u{]}_R\star ([v{]}_R\star [w{]}_R).$
2. Vejamos que $[1{]}_R$ é elemento neutro de $(FG(X),\star )$. Seja $[u{]}_R\in FG(X)$ qualquer. Temos $[u{]}_R\star [1{]}_R=[u\ast 1{]}_R=[u{]}_R$ e, analogamente, $[1{]}_R\star [u{]}_R=[u{]}_R$.
3. Seja $[u{]}_R\in FG(X)$ qualquer e vejamos que $[u{]}_R\star [\overline{u}{]}_R=[1{]}_R$. Temos $[u{]}_R\star [\overline{u}{]}_R=[u\ast \overline{u}{]}_R$ e, por definição de $R$, $u\ast \overline{u}R1$, isto é, $[u\ast \overline{u}{]}_R=[1{]}_R$, logo $[u{]}_R\star [\overline{u}{]}_R=[1{]}_R$ e, analogamente, $[\overline{u}{]}_R\star [u{]}_R=[1{]}_R$. $◻$

Analogamente ao que fizemos com o monóide livre, ao grupo mais "livre" gerado pelo conjunto $X$ vamos chamar grupo livre gerado por $X$.

Definição Seja $X$ um conjunto. Ao grupo $(FG(X),\star )$ chamamos grupo livre gerado por $X$.

Exemplo Seja $X=\{x\}$. Escolhamos um qualquer conjunto $\overline{X}=\{y\}$ disjunto (e equipotente) de $X$. Seja $f:X\to \overline{X}$ uma (na verdade, a única) aplicação bijectiva de $X$ em $\overline{X}$. Então denotamos $f(x)=y$ por $\overline{x}$ e denotamos $f^{-1}(y)=x$ por $\overline{y}$. Passamos a encarar $x$ e $y$ como elementos inversos. Seja $R$ a relação de congruência de $FM(X\cup \overline{X})$ gerada por $G=\{(1,1),(x\overline{x},1),(xx\overline{x}\overline{x},1),\dots \}$. $FG(X)=FM(\{x,\overline{x}\})$ é o conjunto das "palavras" escritas no alfabeto $\{[x{]}_R,[\overline{x}{]}_R\}$. Por exemplo, $[1{]}_R,[x{]}_R,[\overline{x}{]}_R,[xx\overline{x}xx{]}_R\in FG(X)$.

Temos $G\subseteq R$ e, por exemplo, $(xx\overline{x},1)\in R$, pois de $(x\overline{x},1)\in G\subseteq R$ (logo $x\overline{x}R1$) e de $R$ ser relação de congruência, vem que podemos "multiplicar" ambos os "membros" da relação $x\overline{x}R1$ e obter $xx\overline{x}Rx$. Encaramos $x\overline{x}R1$ como significando que em $FG(X)$ temos $xx\overline{x}=x$ (em rigor, $[xx\overline{x}{]}_R=[1{]}_R$), e pensamos nesta igualdade como sendo resultado de um $x$ "anular-se" com $\overline{x}$ em $xx\overline{x}$.

Dado $u\in FM(X\cup \overline{X})$, denotemos o número exato de vezes que a "letra" $x$ ocorre em $u$ por $|u{|}_x$ e denotemos o número exato de vezes que a "letra" $\overline{x}$ ocorre em $u$ por $|u{|}_{\overline{x}}$. Então "cortando" $x$'s com $\overline{x}$'s ficamos com uma palavra reduzida com $|u{|}_x-|u{|}_{\overline{x}}$ vezes a letra $x$ (se $|u{|}_x-|u{|}_{\overline{x}}<0$, entendamos que não há letras $x$ e fica $-(|u{|}_x-|u{|}_{\overline{x}})$ vezes a letra $\overline{x}$). Denotemos este número $|u{|}_x-|u{|}_{\overline{x}}$ por $|u{|}_{x-\overline{x}}$. Temos

1. $[u{]}_R=[v{]}_R$ se e só se $|u{|}_{x-\overline{x}}=|v{|}_{x-\overline{x}}$ e
2. $\mathrm{\forall }[u{]}_R,[v{]}_R\in FG(X),|uv{|}_{x-\overline{x}}=|u{|}_{x-\overline{x}}+|v{|}_{x-\overline{x}}$.

Assim, cada elemento $[u{]}_R\in FG(X)$ fica determinado pelo número inteiro $|u{|}_{x-\overline{x}}$ e o produto $\star$ de dois elementos $[u{]}_R,[v{]}_R\in FG(X)$ corresponde à soma dos seus inteiros associados $|u{|}_{x-\overline{x}}$ e $|v{|}_{x-\overline{x}}$. Assim, parece que o grupo $(FG(X),\star )$ é "semelhante" a $(\mathbb{Z},+)$. Com efeito $(FG(X),\star )$ é isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ e a aplicação $|\cdot {|}_{x-\overline{x}}:FG(X)\to \mathbb{Z}$ é um isomorfismo de grupos.

Apresentação de um grupo

Informalmente, parece que ${\mathbb{Z}}_n$ é obtido do grupo "livre" $\mathbb{Z}$ impondo a relação $nx=1$. Vamos tentar formalizar esta ideia. Partimos de um conjunto $X$ que gera um grupo $G$ que queremos criar e de um conjunto de relações $R$ (tais como $x^n=1$ ou $xy=yz$) que os elementos de $G$ devem verificar e obtemos o grupo $G/R$ gerado por $G$ e que verifica as relações $R$. Mais precisamente, escrevemos cada relação $u=v$ na forma $u{v}^{-1}=1$ (por exemplo, $xy=yx$ escreve-se na forma $xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1$) e encaramos $u{v}^{-1}$ como uma "palavra" de $FG(X)$. Como $R$ não tem necessariamente de ser um subgrupo normal de $G$, não podemos considerar o quociente $FG(X)/R$, pelo que consideramos o quociente $FG(X)/R$ onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Em $G/N$, vamos ter $u{v}^{-1}N=1N$, o que encaramos como significando que em $G/N$ os elementos $u{v}^{-1}$ e $1$ são o mesmo. Assim, $FG(X)/N$ vai verificar todas as relações que queremos e vai ser gerado por $X$ (mais precisamente, por $\{xN:x\in X\}$). Formalizamos de seguida esta ideia.

Definição Seja $G$ um grupo. Chamamos apresentação de $G$, e denotamos por $<X:R>$, a um par ordenado $(X,R)$ onde $X$ é um conjunto, $R\subseteq FG(X)$ e $G\simeq FG(X)/N$, onde $N$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $R$. Numa apresentação $<X:R>$, a $X$ chamamos conjunto gerador e a $R$ chamamos conjunto das relações.

Vejamos exemplos de apresentações do grupo livre $FG(X)$ e dos grupos ${\mathbb{Z}}_n$, $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_m\oplus {\mathbb{Z}}_n$ e $S_3$. Aproveitamos também os exemplos para expor alguma notação usual e mostrar que a apresentação de um grupo não tem de ser única.

Exemplos

1. Seja $X$ um conjunto. $<X:\mathrm{\varnothing }>$ é uma apresentação de $FG(X)$ porque $FG(X)\simeq FG(X)/\{1\}$, onde $\{1\}$ é o subgrupo normal de $FG(X)$ gerado por $\mathrm{\varnothing }$. Em particular, $<\{x\}:\mathrm{\varnothing }>$ é uma apresentação de $(\mathbb{Z},+)\simeq FG(\{x\})$, mais usualmente denotada por $<x:\mathrm{\varnothing }>$. Outra apresentação de $(\mathbb{Z},+)$ é $<\{x,y\}:\{x{y}^{-1}\}>$, mais usualmente denotada por $<x,y:x{y}^{-1}>$. Informalmente, na apresentação $<x,y:x{y}^{-1}>$ introduzimos um novo elemento $y$ no conjunto gerador, mas depois impomos a relação $x{y}^{-1}=1$, isto é, $x=y$, o que na prática é o mesmo que nem ter introduzido $y$ e ter ficado pela apresentação $<x:\mathrm{\varnothing }>$.
2. Seja $X=\{x\}$. $<X:\{x^n\}>$ (onde $x^n=x\star \cdots \star x\in FG(X)$ $n$ vezes) é uma apresentação de ${\mathbb{Z}}_n$. Com efeito, o subgrupo de $FG(X)$ gerado por $\{x^n\}$ é $N=\{\dots ,{\overline{x}}^{2n},{\overline{x}}^n,1,x^n,x^{2n},\dots \}\simeq n\mathbb{Z}$ e $FG(X)\simeq \mathbb{Z}$, logo ${\mathbb{Z}}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\simeq FG(X)/N$. É mais usual denotar $<\{x\}:\{x^n\}>$ por $<x:x^n>$.
3. Sejam $X=\{x,y\}$ (com $x$ e $y$ distintos) e $R=\{xy{x}^{-1}{y}^{-1}\}$. $<X:R>$ é uma apresentação de $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. Informalmente, o que fazemos é impor em $FG(X)$ que haja comutatividade, isto é, $xy=yx$, ou seja, $xy{x}^{-1}{y}^{-1}=1$, obtendo um grupo isomorfo a $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xy{x}^{-1}{y}^{-1}\}>$ por $<x,y:xy{x}^{-1}{y}^{-1}>$.
4. Sejam $X=\{x,y\}$ e $R=\{xy{x}^{-1}{y}^{-1},x^m,y^n\}$. $<X,R>$ é uma apresentação de ${\mathbb{Z}}_m\times {\mathbb{Z}}_n$. Informalmente, o que fazemos é impor a comutatividade da mesma forma que no exemplo anterior, e impomos ainda $x^m=1$ e $x^n=1$ para obtermos ${\mathbb{Z}}_m\times {\mathbb{Z}}_n$ em vez de $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$. É mais usual denotar $<\{x,y\}:\{xy{x}^{-1}{y}^{-1},x^m,y^n\}>$ por $<x,y:xy{x}^{-1}{y}^{-1},x^m,y^n>$.
5. $<\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}>$, mais usualmente escrito $<a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab>$, é uma apresentação de $S_3$, o grupo das permutações de $\{1,2,3\}$ com a composição de aplicações. Para verificar isto, podemos verificar que qualquer grupo com apresentação $<a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab>$ tem exatamente seis elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$, e que a multiplicação destes elementos resulta na seguinte tabela de Cayley que é igual à tabela de Cayley de $S_3$. Apenas para dar uma ideia de como o podemos fazer, um grupo com apresentação $<a,b,c:a^2,b^2,c^2,abac,cbab>$ tem exatamente os elementos $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ e $ac$ porque nenhuns destes elementos são iguais (as relações $a^2=b^2=c^2=abac=cbab=1$ não permitem concluir que dois destes elementos são iguais) e porque "outros" elementos como $bc$ são na realidade alguns dos elementos anteriores (por exemplo, de $cbab=id$ temos $cb=ab$, e tomando inversos de ambos os membros, temos $b^{-1}{c}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$, que, usando $a^2=b^2=c^2=id$, isto é, $a=a^{-1}$, $b=b^{-1}$ e $c=c^{-1}$, resulta em $bc=ba$). Então, usando as relações da apresentação, podemos calcular a tabela de Cayley. Por exemplo, $a(ab)=b$ porque temos a relação $a^2=1$. Outro exemplo: temos $b(ac)=a$ porque podemos multiplicar ambos os membros da relação $abac=id$ por $a$ e então usar $a^2=id$. Podíamos ter suspeitado desta representação tomando $a=(12)$, $b=(13)$ e $c=(23)$ e depois, tentando construir a tabela de Cayley de $S_3$, descoberto que tal era possível se soubéssemos que $a^2=b^2=c^2=abac=cbab=1$.

$\times$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$id$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$a$	$a$	$id$	$ab$	$ac$	$b$	$c$
$b$	$b$	$ac$	$id$	$ab$	$c$	$a$
$c$	$c$	$ab$	$ac$	$id$	$a$	$b$
$ab$	$ab$	$c$	$a$	$b$	$ac$	$id$
$ac$	$ac$	$b$	$c$	$a$	$id$	$ab$

É natural perguntar se todo o grupo tem uma apresentação. O teorema seguinte diz-nos que sim, e dá-nos até uma apresentação.

Teorema Sejam $(G,\times )$ um grupo.

1. A aplicação $\phi :FG(G)\to G$ definida por $\phi ([x_1{]}_R\star \cdots \star [x_n{]}_R)=x_1\times \cdots \times x_n$ (onde $x_1,\dots ,x_n\in G$) é um epimorfismo de grupos.
2. $<G:\text{ker}\phi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$.

Demonstração

1. $\phi$ está bem definida porque todo o elemento de $FG(X)$ tem uma representação única na forma $[x_n]\star \cdots [x_n{]}_R$ com $x_1,\dots ,x_n\in G$, a menos de $[1{]}_R$ surgir várias vezes na representação, o que não afeta o valor de $x_1\times \cdots \times x_n$. Sejam $[x_1{]}_R\star \cdots \star [x_m{]}_R,[y_1{]}_R\star \cdots \star [y_n{]}_R\in FG(X)$ quaisquer, onde $x_1,\dots ,x_m,y_1,\dots ,y_n\in G$. Temos $\phi (([x_1{]}_R\star \cdots \star [x_m{]}_R)\star ([y_1]\star \cdots \star [y_n{]}_R))=(x_1\times \cdots \times x_m)\times (y_1\times \cdots \times y_n)=$ $\phi ([x_1{]}_R\star \cdots \star [x_m{]}_R)\times \phi ([y_1{]}_R\star \cdots \star [y_n{]}_R)$, logo $\phi$ é morfismo de grupos. Como $\mathrm{\forall }x\in G,\phi ([x{]}_R)=x$, então $G$ é epimorfismo de grupos.
2. Pelo primeiro teorema do isomorfismo (para grupos), temos $FG(G)/\text{ker}\phi \simeq \phi (G)=G$, logo $<G:\text{ker}\phi >$ é uma apresentação de $(G,\times )$. $◻$

O teorema anterior, embora dê uma apresentação do grupo $G$, não nos dá uma "boa" apresentação, pois o conjunto gerador $G$ é usualmente bastante maior do que outros conjuntos geradores, e o conjunto das relações $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\phi$ é também usualmente bastante maior do que outros conjuntos de relações suficientes (é até um subgrupo normal de $FG(G)$, quando bastava que gerasse um subgrupo normal apropriado). Predefinição:AutoCat