Topologia/Espaços métricos

Espaços métricos

Seja M um conjunto não-vazio e $d:M\times M\to ℝ$ uma função. Dizemos que $(M,d)$ é um espaço métrico se, para todo $x,y,z\in M$, a função d satisfizer as seguintes propriedades:

• M1: $d(x,y)\ge 0$;
• M2: $d(x,y)=d(y,x)$, simetria;
• M3: $d(x,y)=0⟺x=y$;
• M4: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$, desigualdade trigonométrica.

Define-se, num espaço métrico M, a bola aberta de centro em x e raio $r>0$ $B_r(x)=\{y\in M:d(y,x)<r\}$.

Estrutura de espaço topológico

Pode-se provar que o conjunto $T=\{U\subset M:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }ϵ>0\mid B_{ϵ}(x)\subset U\}$ é uma topologia sobre M. De fato, temos, por vacuidade, $\varnothing \in T$ e, para quaisquer $x\in M,ϵ>0$, $B_{ϵ}(x)\subset M$, donde $M\in T$. Sejam $A,B\in T$ e $x\in A\cap B$. Então existem ${ϵ}_1,{ϵ}_2>0$ tais que $B_{{ϵ}_1}(x)\subset A$ e $B_{{ϵ}_2}(x)\subset B$. Escolhemos $ϵ=\min \{{ϵ}_1,{ϵ}_2\}$. Vemos que $B_{ϵ}(x)\subset B_{{ϵ}_1}(x)\subset A$ e $B_{ϵ}(x)\subset B_{{ϵ}_2}(x)\subset B$, logo $B_{ϵ}(x)\subset A\cap B$ e $A\cap B\in T$. Seja $(A_{\lambda }{)}_{\lambda }$ uma família em T. Se $x\in {\bigcup }_{\lambda }{A}_{\lambda }$, então, para algum μ, $x\in A_{\mu }$, donde existe um $ϵ>0$ tal que $B_{ϵ}(x)\subset A_{\mu }\subset {\bigcup }_{\lambda }{A}_{\lambda }$. Logo ${\bigcup }_{\lambda }{A}_{\lambda }\in T$. Isto completa a demonstração de que T é uma topologia sobre M.

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