Teoria dos conjuntos/O conjunto dos números naturais

O objetivo deste capítulo é mostrar que o conjunto dos números naturais existe, é único, e provar algumas de suas propriedades básicas.

Um capítulo anterior ([[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]]) definiu o que um conjunto deve satisfazer para ser chamado de um número natural.

O [[../Axioma do infinito/]] diz que existe um conjunto que inclui o conjunto vazio e, para cada elemento seu, inclui o seu sucessor (definido no capítulo [[../Axioma da união/]]). Assim, para cada conjunto que o axioma do infinito provém, podemos definir, pelo [[../Axioma da extensão/]], um conjunto dos números naturais - o que prova a existência.

Nosso primeiro objetivo é mostrar que todo número natural é elemento de qualquer conjunto dos números naturais; com isto mostramos que este conjunto é único.

Unicidade

Devemos provar o seguinte:

Seja A um conjunto que satisfaz ao [[../Axioma do infinito/]]. Então todo número natural n é um elemento de A.

Como vimos antes, n é um número natural quando:

1. n é o conjunto vazio ou n é um sucessor de algum seu elemento
2. todo elemento de n é o conjunto vazio ou um sucessor de algum seu elemento

Nos capítulos anteriores, mostramos vários teoremas a respeito dos números naturais. Em particular, no capítulo sobre o [[../Axioma da regularidade/]], mostramos que para todo número natural n e todo subconjunto K de n satisfazendo:

1. $\varnothing \in n⟹\varnothing \in K$
2. $x\in K\wedge s(x)\in n⟹s(x)\in K$

temos que K = n.

É óbvio como provaremos que todo número natural n é elemento de A: basta formar o subconjunto $K=n\cap A\subseteq n$ e mostrar que $K=n\cap A=n$.

É imediato que:

1. Como $\varnothing \in A$, temos que $\varnothing \in n⟹\varnothing \in n\cap A=K$
2. Como $x\in A⟹s(x)\in A$ e $K\subseteq A$, temos que $x\in K\wedge s(x)\in n⟹s(x)\in n\cap A=K$

O que completa a prova.

Assim, sendo A e B dois conjuntos que satisfazem ao [[../Axioma do infinito/]], pelo [[../Axioma da separação/]], podemos definir:

• ${\mathbb{N}}_A=\{x\in A|x\text{ eh um numero natural }\}$
• ${\mathbb{N}}_B=\{x\in B|x\text{ eh um numero natural }\}$

é imediato que ${\mathbb{N}}_A={\mathbb{N}}_B$, ou seja, temos que o conjunto dos números naturais existe e é único, o que justifica a definição:

$\mathbb{N}=\{x|x\text{ eh um numero natural }\}$

Princípio da indução finita

A unicidade de $\mathbb{N}$ permite imediatamente demonstrar vários fatos.

Por exemplo, seja K um subconjunto de $\mathbb{N}$ satisfazendo:

• $\varnothing \in K$
• $n\in K⟹s(n)\in K$

Então, obviamente, K é um conjunto que satisfaz ao [[../Axioma do infinito/]], então $\mathbb{N}\subseteq K$, completando a prova.

Esta propriedade costuma ser apresentada como um esquema de teoremas: seja P(x) uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos.

Então se:

• $P(\varnothing )$
• $P(n)⟹P(s(n))$

então

• $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},(P(n))$

A demonstração parte da construção do conjunto $K=\{n\in \mathbb{N}|P(n)\}$, e aplicando-se o resultado anterior para provar que $K=\mathbb{N}$.

Todo número natural é um número ordinal

A indução finita torna muito simples várias propriedades dos números naturais.

Por exemplo, podemos provar que todo número natural é um número ordinal (ver a definição de ordinal segundo von Neumann em [[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]]). Isto porque $\varnothing$ é um número ordinal, e o sucessor de todo número ordinal também é um número ordinal (ver prova em [[../Axioma da potência/]]) - logo, por indução, todo número natural é um número ordinal.

Axiomas de Peano

Predefinição:Principal O estudo de várias estruturas algébricas complexas parte, quase sempre, do estudo da estrutura mais elementar, que é o conjunto dos números naturais com sua relação de ordem e as operações binárias de soma e produto de números naturais.

Veremos aqui como é possível construir esta estrutura algébrica de forma axiomática.

Uma forma é partir do conjunto $\mathbb{N}$ e definí-las.

Mas uma forma mais elegante é partir dos Predefinição:W.

Predefinição:W, em 1889, propôs nove axiomas que servem como fundamentos da aritmética - na verdade, estes axiomas são tão completos, que servem como fundamentos para quase toda a matemática. Destes axiomas, os quatro primeiros são sobre lógica, e os cinco últimos supõem a existência de um conjunto N satisfazendo:

1. $\mathrm{\exists }0\in N$
2. $\mathrm{\exists }s:N\to N$
3. $\mathrm{\exists }n\in N,(s(n)=0)$
4. $\mathrm{\forall }n,m,(s(n)=s(m)⟹n=m)$
5. $\mathrm{\forall }K\subseteq N,(0\in K\wedge (n\in K⟹s(n)\in K)⟹K=N)$

Em palavras:

1. N possui um elemento, que chamaremos de 0
2. Todo elemento de N possui um sucessor em N; chamamos de s(n) ao sucessor de n
3. Não existe um número cujo sucessor seja o 0
4. Se os sucessores de dois números são iguais, então eles são iguais (equivalente: Se dois elementos de N são diferentes, então seus sucessores são diferentes)
5. Se um subconjunto de N tem 0 como elemento, e este conjunto tem o sucessor de cada um dos seus elementos, então este conjunto é igual a N (princípio da indução)

Mostremos agora que $N=\mathbb{N}$, $0=\varnothing$ e $s(x)=x\cup \{x\}$ é um modelo dos axiomas de Peano.

1. $\varnothing \in \mathbb{N}$ - por construção
2. $\mathrm{\exists }s:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ - por construção
3. $\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},(s(n)=\varnothing )$ - verdadeiro, pois s(n) é um conjunto que possui (pelo menos) um elemento - n - logo $s(n)\ne \varnothing$
4. $\mathrm{\forall }n,m,(s(n)=s(m)⟹n=m)$ - deixaremos esta prova para o final
5. o princípio da indução foi demonstrado acima

Então falta mostrar que se dois números tem o mesmo sucessor então eles são iguais. Mas isto segue do axioma da separação, porque se s(n) = s(m) temos que $n\in m\cup \{m\}$ e $m\in n\cup \{n\}$ e, dos quatro casos seguintes, apenas um deles não viola o axioma da separação:

1. $n\in m\wedge m\in n$
2. $n\in m\wedge m=n$
3. $n=m\wedge m\in n$
4. $n=m\wedge m=n$

que é o caso n = m.