Teoria dos conjuntos/Números ordinais

Nos capítulos anteriores foram apresentados os ordinais segundo von Neumann, e foram exibidas e demonstradas várias propriedades. Este capítulo sintetiza os resultados anteriores e apresenta novos resultados.

Ordinais

Conforme visto no capítulo [[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]], um ordinal segundo von Neumann é um conjunto α satisfazendo:

• Existe uma relação bem ordenada ((α, α), R)
• Esta relação satisfaz $\mathrm{\forall }x,y\in \alpha ,((x,y)\in R⟺x\in y)$
• Todo elemento de α é um subconjunto de α (ou seja, $\mathrm{\forall }x\in \alpha ,(x\subseteq \alpha ))$

Classificação dos ordinais

Vimos até agora dois tipos de ordinal:

• $\varnothing$ - o conjunto vazio
• s(α) - o sucessor de um outro ordinal

Um terceiro tipo de ordinal, ordinal limite, é definido como um ordinal que não é nem o conjunto vazio nem o sucessor de outro ordinal. Ainda não vimos se existe, mas, se existir, este ordinal tem uma propriedade notável:

• Seja α um ordinal limite. Então $\alpha =\bigcup _{x\in \alpha }x$.

Prova: já vimos anteriormente que $\bigcup _{x\in \alpha }x$ é um ordinal (ver [[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]]). É imediato verificar que $\bigcup _{x\in \alpha }x\subseteq \alpha$. Suponha, portanto, que $\bigcup _{x\in \alpha }x\subset \alpha$, então mostraremos que α é um ordinal sucessor, o que completa a prova.

Mas se $\bigcup _{x\in \alpha }x\subset \alpha$, então temos que existe um elemento $\beta \in \alpha$ tal que $\beta \in ̸\bigcup _{x\in \alpha }x$. Mas vimos anteriormente (ver [[../Axioma da potência/]]) que $\beta \in \alpha ⟹(s(\beta )=\alpha \vee s(\beta )\in \alpha )$, Neste caso, $s(\beta )$ não pode ser elemento de α, portanto α = s(β).

A recíproca é obviamente verdadeira: se temos um ordinal α em que $\alpha =\bigcup _{x\in \alpha }x$, então obviamente α não é um ordinal sucessor (é imediato verificar que $\bigcup _{x\in s(\alpha )}x\subset s(\alpha )$, pois α é um elemento de s(α) mas não é um elemento de algum elemento de s(α)), então este ordinal é o conjunto vazio ou um ordinal limite.

A boa ordenação dos ordinais

O que foi visto até agora permite escrever as seguintes propriedades:

$Ord(\alpha )\wedge Ord(\beta )⟹(\alpha \in \beta \vee \alpha =\beta \vee \beta \in \alpha )$

$Ord(\alpha )\wedge Ord(\beta )⟹(\alpha \in \beta ⟺\alpha \subset \beta )$

Por definição, se S for um conjunto não-vazio de ordinais contido em algum outro ordinal, então S possui elemento mínimo (considerando a relação de ordem total definida por $x\in y$).

Este fato pode ser generalizado: se S for um conjunto não-vazio de ordinais, então S tem um elemento mínimo.

Na verdade, podemos generalizar ainda mais: se Φ(x) for uma propriedade escrita na linguagem formal da teoria dos conjuntos através de uma fórmula bem formada, e existir algum ordinal α que satisfaça Φ(α), então existe um ordinal μ que é mínimo para Φ(x), ou seja, que, qualquer que seja x satisfazendo Φ(x) temos que x = μ ou $\mu \in x$.

Informalmente, costuma-se dizer que uma propriedade Φ(x) que pode valer ou não valer conforme o conjunto x define uma classe; existem outras apresentações da teoria dos conjuntos em que o conceito de classe faz parte da teoria. Este teorema, então, diz que uma classe não-vazia de ordinais tem um elemento mínimo.

Note-se que este não é apenas um teorema: é um esquema de teoremas, e para cada fórmula Φ(x) temos uma nova versão do teorema.

Prova: suponha que a fórmula Φ(x) seja satisfeita para os ordinais α e β.

Então vamos formar os conjuntos (bem definidos, pelo [[../Axioma da extensão/]]):

$S_A=\{x\in s(\alpha )|\mathrm{\Phi }(x)\}$

$S_B=\{x\in s(\beta )|\mathrm{\Phi }(x)\}$

Estes conjuntos são subconjuntos não-vazios de ordinais (por exemplo, $\alpha \in S_A\subseteq s(\alpha )$), logo podemos tomar seus mínimos

$a=\underset{s(\alpha )}{\min }{S}_A$

$b=\underset{s(\beta )}{\min }{S}_B$

Afirmação: a = b.

Prova: sem perda de generalidade, se a ≠ b, suponhamos que $a\in b$. Neste caso, como $b\in s(\beta )$, pela transitividade, $a\in s(\beta )$, ou seja, $a\in S_B$, contradizendo o fato de b ser mínimo.

Ou seja, se a fórmula Φ(x) é satisfeita por qualquer ordinal, então o mínimo de Φ(x) existe e não depende do ordinal escolhido, ou seja, ele existe e é único.

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