Teoria dos conjuntos/Funções e relações

Já vimos em um capítulo anterior ([[../Explorando os axiomas da extensão, separação, par e união/]]) como definir funções e relações.

Recapitulando, e atualizando com os novos conceitos:

• um conjunto G é o gráfico de uma relação quando todo elemento de G é um par ordenado
• uma relação de um conjunto A para um conjunto B é representada por ((A, B), G), em que $G\subseteq A\times B$.
• uma função é uma relação que satisfaz determinados axiomas adicionais, de forma que faz sentido escrever f(x), ou seja, para todo $x\in A$, f(x) existe e é único.

Funções

Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Uma correspondência que associe a todo elemento pertencente a A um e apenas um elemento y do conjunto B. Essa correspondência entre os elementos de A e os elementos de B recebe o nome de "aplicação de A em B". Diz-se também "função" como sinônimo para aplicação.

Para dizer que f é uma função de A em B, escreve-se:
$\begin{array}{cc}f:A& \to B\\ x& \mapsto f(x)\end{array}$
Ou simplesmente f: A → B.

A letra x, que representa um elemento qualquer de A, chama-se "variável" e o elemento correspondente f(x) chama-se "valor de f em x ou imagem de x por f".

Definindo funções

Um cuidado que se deve ter, em um texto rigoroso, é na hora de definirmos funções.

O leitor deve estar familiarizado com os paradoxos numéricos que são gerados ao se usar expressões como $\sqrt{.}$ e $\log$, sem tomar cuidado com o domínio destas funções. Como exemplo, temos seguinte prova de que 1 = -1: $\sqrt{x^2}=x$, logo $\sqrt{(-1{)}^2}=-1$, etc.

Em Teoria dos conjuntos não é diferente; definindo-se funções de forma descuidada também é possível gerar paradoxos.

A formas de se definir uma função são:

Pelo seu gráfico

Em que o gráfico, aqui, é o conjunto dos pontos (x, y) em que y = f(x). O cuidado que se deve tomar é:

• o domínio deve ser formado pelos x (e apenas por eles) que aparecem nos pontos (x, y) do gráfico
• se (x, y₁) e (x, y₂) pertencem ao gráfico, então y₁ = y₂.
• o contra-domínio deve ser a imagem ou um superconjunto da imagem

Exemplo: seja G = {(1, 2), (3, 4), (5, 2)}. Uma função definida por este gráfico poderia ser $f:\{1,3,5\}\to \{2,3,4\}$, em que f(1) = f(5) = 2 e f(3) = 4.

Por uma fórmula ou expressão

Esta definição é consequência do [[../Axioma da substituição/]]. Se φ(x) for uma expressão (escrita através de símbolos já definidos) que sempre está definida para valores de um conjunto X, então existe uma (única) função sobrejetiva $f:X\to f(X)$ em que $f(x)=\varphi (x)$.

Muitas vezes φ(x) está definida implicitamente, através de uma fórmula Φ(x, y) que se comporta analogamente ao gráfico de uma função. Nestes casos, é preciso mostrar que para todo $x\in X$, a fórmula Φ(x, y) é satisfeita por um, e apenas um, y.

Exemplo: sejam X e a conjuntos. Então existe uma única função sobrejetiva $f:X\to f(X)$ em que $f(x)=x\cup A$.

Por propriedades das funções

Definições por composição de funções, por inversão de funções bijetivas, etc.

Por casos particulares, usando funções já definidas

Este é o caso em que aparecem expressões da forma:

$h(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& \text{se }x\in A,\\ g(x)& \text{se }x\in B.\end{array}$

Obviamente, temos que $f:A\to C$ e $g:B\to C$ são funções anteriormente definidas (ou expressões bem definidas), e $A\cap B=\varnothing$.

Através do Axioma da Escolha

O [[../Axioma da escolha/]] diz que existe uma função escolha em todo conjunto que não tem o conjunto vazio como seu elemento. Quando necessário, podemos invocar o axioma e dizer que tal função existe.

Este axioma é controverso porque, ao contrário dos demais axiomas, ele não dá a menor ideia de como esta função possa ser construída. Predefinição:AutoCat