Teoria dos conjuntos/Cardinalidade

O conceito de cardinalidade é a forma rigorosa de comparar o tamanho dos conjuntos.

Intuitivamente, dois conjuntos tem o mesmo tamanho quando é possível colocar seus elementos em correspondência. Rigorosamente, isto é feito através de funções bijetivas.

Neste capítulo representaremos $A\sim B$ quando A e B tiverem o mesmo tamanho.

Definição

Define-se $A\sim B$ quando existe uma função bijetiva $f:A\to B$.

Segue-se imediatamente da existência da função inversa (demonstrada no capítulo do [[../Axioma da potência/]]) que se $A\sim B$ então $B\sim A$.

Diz-se também que A e B são equipotentes, que A e B tem a mesma cardinalidade ou, menos formalmente, que A e B tem o mesmo número de elementos.

Propriedades

Segue imediatamente de propriedades de funções bijetivas que:

$A\sim A$ - basta usar a função identidade em A

$A\sim B⟹B\sim A$ - porque a função inversa de uma função bijetiva existe e é uma função bijetiva

$A\sim B\wedge B\sim C⟹A\sim C$ - porque a composta de funções bijetivas é uma função bijetiva

Ver também

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