Teoria dos conjuntos/Axioma da união

Até agora vimos, usando os axiomas anteriores, como construir conjuntos como $1=\{\varnothing \}$, $2=\{\varnothing ,1\}$ ou mesmo $\{2,\{2\}\}=\{\{\varnothing ,1\},\{2\}\}$. É estranho, mas não conseguimos (ainda) construir um conjunto A em que $\varnothing \in A\wedge 1\in A\wedge 2\in A$ - apesar de termos um conjunto cujos elementos dos seus elementos são precisamente $\varnothing$, 1 e 2!

O axioma da união é a ferramenta necessária para se construir este tipo de conjunto, ou seja, a partir de um conjunto A, forma-se um conjunto B cujos elementos são tais que $x\in B⟺x\in y\in A$.

Um subproduto importante do axioma é a formação do conjunto união de dois outros conjuntos, ou seja, dados A e B este axioma garante a existência de $C=A\cup B$

Definição formal

Na linguagem formal, este axioma é:

$\mathrm{\forall }A\mathrm{\exists }B\mathrm{\forall }x(x\in B⟺\mathrm{\exists }y(x\in y\wedge y\in A))$

A definição acima implica (pelo axioma da extensão) que B é único; existem outras formas equivalentes deste axioma, em que o conjunto cuja existência é postulada é um Predefinição:W da união. Nestes casos, para se obter a união é preciso aplicar o axioma da separação para a propriedade $\varphi (X)=(\mathrm{\exists }Y,X\in Y\wedge Y\in A)$.

Como B é único, é interessante dar um nome a ele, assim, este conjunto é definido como:

$\bigcup _{X\in A}X$

União de dois conjuntos

Sendo A e B conjuntos, pelo axioma do par existe o conjunto X = {A, B}. Aplicando-se o axioma da união a este conjunto X, obtém-se um conjunto $C=\bigcup _{x\in X}x$.

É fácil mostrar que $x\in C⟺x\in A\vee x\in B$, ou seja, este axioma permite construir a união de dois conjuntos:

$A\cup B=\bigcup _{x\in \{A,B\}}x$

Definição de conjuntos com três, quatro, etc elementos

Com as definições da união e dos conjuntos com um elemento e com (possivelmente) dois elementos, podemos definir:

• $\{x,y,z\}=\{x,y\}\cup \{z\}$
• $\{w,x,y,z\}=\{w,x,y\}\cup \{z\}$
• $\{v,w,x,y,z\}=\{v,w,x,y\}\cup \{z\}$

e pode-se continuar definindo conjuntos cada vez maiores. É importante notar que, assim como temos um esquema de axiomas no axioma da separação, aqui temos um esquema de definições - não iremos explicitamente escrever todas as definições, mas o leitor deve se convencer de que qualquer conjunto com um número finito de elementos pode ser definido desde que haja tempo suficiente para enumerar seus elementos.

Sucessor, e os números de 3 a 9

Uma notação, bolada por Predefinição:W, que será muito conveniente é a do sucessor de um conjunto (mas esta definição só tem sentido prático para números).

Define-se s(x), o sucessor de x, como:

• $s(x)=x\cup \{x\}$

Já vimos antes as definições de 1 e 2 como conjuntos. É fácil ver que:

• $1=s(\varnothing )$
• $2=s(1)$

o que motiva a definir:

• 3 = s(2)
• 4 = s(3)
• 5 = s(4)
• 6 = s(5)
• 7 = s(6)
• 8 = s(7)
• 9 = s(8)

Poderíamos continuar assim, mas para ser possível provar alguma coisa em aritmética, será melhor parar por aqui. Note-se que até agora não foi falado do zero; por consistência temos que $0=\varnothing$ é a melhor definição, porque assim temos 1 = s(0).

Com os axiomas até agora vistos, falta pouco para poder construir um modelo da Predefinição:W - falta demonstrar que existe um conjunto dos números naturais.

Obs: o nome sucessor não é um acidente. É fácil ver que se x é um conjunto qualquer, então qualquer conjunto "entre" x e seu sucessor será igual a x ou "equivalente" a x: $x\in y\in s(x)$ implica (por $y\in s(x)$) em $y=x$ ou $y\in x$; assim temos finalmente que, se este conjunto y existe, então $x\in x$ ou $x\in y\in x$. Conjuntos com propriedades parecidas com esta são chamados de "conjuntos não-bem-fundados"; veremos adiante um axioma (o axioma da regularidade) que diz que estes conjuntos não existem.

Exercícios

• Sejam A e a conjuntos, e seja $B=A\cup \{a\}$. Mostre que

$\bigcup _{x\in B}x=(\bigcup _{x\in A}x)\cup a$

• Sejam $B=\bigcup _{x\in A}x$. Mostre que:

$x\in A⟹x\subseteq B$

• Sejam $A\subseteq B$. Mostre que:

$\bigcup _{x\in A}x\subseteq \bigcup _{x\in B}x$

• Dê um exemplo em que $A\subset B$ e $\bigcup _{x\in A}x=\bigcup _{x\in B}x$
• Sejam A, B e C, em que $A\subseteq B$ e $B\in C$. Mostre que:

$A\subseteq \bigcup _{x\in C}x$