Teoria de números/Equações diofantinas

Neste capítulo serão estudados certos problemas cuja solução envolve conceitos da teoria de números que foram tratados nos capítulos anteriores.

Considere o seguinte problema:

Se existem notas de 2 e de 5 reais, quais são os valores que podem ser obtidos combinando algumas dessas notas?

Matematicamente, o que se quer saber é:

Quais os valores de $n,$ para os quais a solução $2x+5y=n$ possui alguma solução inteira?

Em geral, as equações que surgem no contexto da teoria de números devem ser resolvidas no conjunto dos números inteiros. Este tipo de equação é conhecido como equação diofantina.

As equações diofantinas lineares

A equação que surgiu do exemplo apresentado no início do capítulo é apenas um caso particular da seguinte: $ax+by=n.$ Aqui, os inteiros $a$ e $b$ são fixados.

Quando é que tal equação possui solução?

O próximo teorema responde exatamente essa pergunta.

Assim como acontece em problemas que envolvem equações diferenciais, para determinar o conjunto solução de uma equação diofantina, encontra-se primeiramente uma solução particular, e combina-se a mesma com a solução da equação homogênea (no caso, $ax+by=0$)

Agora é possível resolver o problema proposto no início.

Aplicação

Será que existem números inteiros $x,y,n$ que verificam $2x+5y=n?$

Conforme o teorema indica, para que exista uma solução (e portanto infinitas) é preciso que $,mdc(2,5)|n.$

Pelo algoritmo de Euclides obtem-se $mdc(2,5)=1,$ além de $2\cdot (-2)+5\cdot 1=1.$ Multiplicando ambos os membros por $n,$ segue que:

$2\cdot (-2n)+5\cdot n=n$

Assim, as demais soluções são da forma:

• $x=-2n+5t$
• $y=n-2t$

No contexto em que o problema foi colocado, é exigido que as soluções não sejam números negativos. Disto seguem as seguintes restrições:

• $-2n+5t\ge 0$
• $n-2t\ge 0$

que são equivalentes a

$\frac{2}{5}n\le t\le \frac{n}{2}$

Para que exista algum valor inteiro $t$ nesse intervalo, é suficiente que $\frac{n}{2}-\frac{2}{5}n\ge 1,$ ou seja,

$n=5n-4n\ge 10$

Note que a condição anterior é suficiente, mas não necessária, pois para alguns valores de $n<10$ também há soluções:

• $4=2+2$
• $5=5+0$
• $6=2+2+2$
• $7=5+2$
• $8=2+2+2+2$
• $9=5+2+2$

A conclusão final é que, utilizando apenas notas de $2$ e de $5$ é possível obter qualquer valor inteiro maior que ou igual a $4.$

Interpretação geométrica

Sabe-se que o conjunto dos pontos $(x,y)$ (com coordenadas reais) que verificam a equação $d=ax+by$ é representado por uma reta sobre o plano cartesiano. Então as soluções da equação diofantina $d=ax+by,$ são representadas pelos pontos da reta que possuem ambas as coordenadas inteiras.

Diferença de quadrados

Um outro problema que pode ser tratado com as ferramentas desenvolvidas até agora é a busca de soluções inteiras para a seguinte equação:

$n=x^2-y^2$

Buscar tais soluções significa determinar se existe algum inteiro $n$ que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos. Se a resposta for afirmativa, será interessante saber exatamente quais são os números inteiros $n$ que são soma de quadrados.

Estes são alguns exemplos desse tipo de problema:

• $x^2-y^2=30$ tem soluções inteiras?
• $x^2-y^2=32$ tem soluções inteiras?

Para poder entender a estratégia para a resolução desse tipo de problema, considere que a segunda equação tenha alguma solução $x,y:$

$32=x^2-y^2$

O que se pode afirmar sobre esses dois números inteiros?

Primeiramente, deve valer $32=x^2-y^2=(x+y)(x-y),$ ou seja, a soma e a diferença das soluções devem ser divisores de $32.$ Sabe-se, por exemplo, que $32=8\cdot 4.$ Será que existem inteiros $x,y$ tais que

• $x+y=8$
• $x-y=4$

Por inspeção, percebe-se que $x=6$ e $y=2$ servem, logo $32=6^2-2^2=36-4.$

E quanto ao outro problema?

É possível encontrar um par de divisores de $30$ (por exemplo, $d$ e $\frac{30}{d}$) tais que um seja a soma, e outro a diferença das soluções?

Observe:

Divisores de $30$
$d$	$\frac{30}{d}$
$1$	$30$
$2$	$15$
$3$	$10$
$5$	$6$

Você é capaz de encontrar alguma linha dessa tabela contendo a soma e a diferença de dois números inteiros? Justifique.

Em vez de continuar tratando o problema baseando-se em exemplos particulares, considere que existem $x,y$ satisfazeno a equação em sua forma geral:

$n=x^2-y^2$

Conforme anteriormente, conclui-se que, para alguma escolha de $u,v,$ tais que $n=u\cdot v,$ tem-se $u=x+y$ e $v=x-y,$ ou seja, para tais divisores de $n$ existe uma solução $x,y$ para o sistema:

$\{\begin{array}{ccc}x+y& =& u\\ x-y& =& v\end{array}$

Equivalentemente, tais inteiros $x,y$ são também solução do sistema:

$\{\begin{array}{ccc}2x& =& u+v\\ 2y& =& u-v\end{array}$

Se você interpretar essas equações adequadamente, concluirá que $u,v$ devem ter a mesma paridade (ser ambos pares ou ambos ímpares). De fato, se um deles for par e o outro for ímpar, sua soma será um número ímpar, e consequentemente não poderá ser escrita como $2x,$ para nenhum valor inteiro $x.$

Na verdade, com pouca ou nenhuma argumentação extra, prova-se a validade do seguinte teorema

Teorema

Uma forma direta de obter a representação de $n$ como diferença de quadrados é a seguinte:

• Se $n$ é múltiplo de $4.$

Nessa situação, $n=4k=(k+1{)}^2-(k-1{)}^2.$

• Se $n$ é ímpar.

Nesse caso, $n=2k+1=(k+1{)}^2-k^2.$

Exemplo

Com esse resultado, conclúi-se que não há solução para o problema dado em um exemplo anterior:

• $x^2-y^2=30$

De fato, $30$ não é ímpar e nem múltiplo de $4.$

Por outro lado, usando a fórmula anterior, fica fácil resolver:

• $x^2-y^2=32$

Como $32=4\cdot 8,$ segue que $32=(8+1{)}^2-(8-1{)}^2=81-49$

Ternos pitagóricos

Um pouco de história Bust of Pythagoras of Samos in the Capitoline Museums, Rome Pitágoras foi um matemático e filósofo grego nascido por volta de 570 a.C., na ilha de Samos. Ele é creditado pela demonstração de uma importante relação entre os lados de um triangulo retângulo, hoje conhecida como o teorema de Pitágoras, cujo enunciado é geralmente resumido da seguinte forma: O quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os outros dois lados.

Um terno pitagórico é uma tripla de números inteiros $x,y,z$ que satisfazem a equação:

$x^2+y^2=z^2$

Por exemplo, $3^2+4^2=5^2,$ então $3,4,5$ é um terno pitagórico. Obviamente, $0,0,0$ também é um terno pitagórico, mas este último caso é trivial e sem interesse, portanto não será considerado na discussão que segue. O objetivo dessa seção é determinar em que circunstâncias a equação $x^2+y^2=z^2$ tem solução $x,y,z$ não trivial (não todos nulos).

É possível simplificar a investigação, considerando somento o caso em que $x,y,z$ são primos entre si. De fato, se $x=d{x}^{\prime },y=d{y}^{\prime },z=d{z}^{\prime }$ então:

$(d{x}^{\prime }{)}^2+(d{y}^{\prime }{)}^2=(d{z}^{\prime }{)}^2\iff x{\text{'}}^2+y{\text{'}}^2=z{\text{'}}^2$

Na verdade, se $x,y,z$ for uma solução, então o máximo divisor comum destes números verifica as seguintes igualdades:

$(x,y,z)=(x,y)=(x,z)=(y,z)$

Em particular, não pode haver $x,y$ não podem ser ambos pares.

Por outro lado, os inteiros $x,y$ também não podem ser ambos ímpares.

De fato, se assim ocorresse, valeria:

• $x=2a+1,$ para algum inteiro $a$
• $y=2b+1,$ para algum inteiro $b$

Deste modo, elevando cada um destes números ao quadrado, resultaria:

• $x^2=(2a+1{)}^2=4a^2+4a+1$ e
• $x^2=(2b+1{)}^2=4b^2+4b+1$

Donde:

• $x^2+y^2=(2b+1{)}^2=(4a^2+4a+1)+(4b^2+4b+1)=4k+2$

Ou seja, a soma dos quadrados de $x$ e $y$ seria par, mas não pertenceria a $4\mathbb{Z}.$

No entanto, sempre que $z^2$ é par, tem-se $z$ par e consequentemente $z^2\in 4\mathbb{Z}.$

Logo, quando $x,y$ são ambos ímpares, a soma de seus quadrados não pode ser um quadrado perfeito.

Segue que dos inteiros $x,y,$ um é ímpar e outro é par. Sem perda de generalidade, pode-se supor que $x$ é par e $y$ é ímpar.

Uma outra forma de escrever a equação original é:

$x^2=z^2-y^2=(z+y)(z-y)$

A partir daí, pode-se deduzir outras informações sobre os inteiros que a satisfazem. Por exemplo, $(z+y,z-y)=1,$ pois:

$d|z+y,z-y\Rightarrow d|2z,2y\Rightarrow d|2$

A segunda implicação vale pois $(z,y)=1.$ Logo, $d\le 2.$

Mas não pode ocorrer $d=2,$ senão:

$2|z+y$

e como $y$ é par, $z$ também seria, coisa que não é possível já que $(z,y)=1.$

Assim, o quadrado perfeito $x^2$ é o produto de dois números primos entre si. Disso decorre que cada um deles deve ser um quadrado perfeito (veja o exercício 1), ou seja:

$\{\begin{array}{ccc}z+y& =& u^2\\ z-y& =& v^2\end{array}$

que equivale a:

$\{\begin{array}{ccc}2z& =& u^2+v^2\\ 2y& =& u^2-v^2\end{array}$

Portanto, quando três números inteiros primos entre si (e não todos nulos) satizfazem a equação:

$x^2+y^2=z^2$

devem existir inteiros $u,v,$ ímpares e primos entre si, tais que $u>v$ e:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& uv\\ y& =& \frac{u^2-v^2}{2}\\ z& =& \frac{u^2+v^2}{2}\end{array}$

Claramente, para quaisquer inteiros $u,v,$ os valores de $x,y,z$ obtidos pelas fórmulas acima são ternos pitagóricos, pois:

$(uv{)}^2+(\frac{u^2-v^2}{2}{)}^2=\frac{2u^2{v}^2+(u^2-v^2{)}^2}{2}=\frac{u^2+v^2}{2}$

Exemplos

Pode-se obter facilmente uma dezena de ternos pitagóricos utilizando as fórmulas:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& uv\\ y& =& \frac{u^2-v^2}{2}\\ z& =& \frac{u^2+v^2}{2}\end{array}$

Alguns deles são listados na tabela a seguir:

parâmetros		ternos pitagóricos
$u$	$v$	$x$	$y$	$z$
3	1	3	4	5
5	1	5	12	13
7	1	7	24	25
9	1	9	40	41
5	3	15	8	17
7	3	21	20	29

Note ainda que toda solução é da forma:

$4UV+(U-V)=(U+V{)}^2$

onde:

$\{\begin{array}{ccc}U& =& u^2\\ V& =& v^2\end{array}$

Observações

Predefinição:Wikipedia A fórmula clássica para a obtenção de ternos pitagóricos é conhecida como Fórmula de Euclides, por ter sido apresentada nos Elementos de Euclides é a seguinte:

$\{\begin{array}{ccc}x& =& a^2-b^2\\ y& =& 2ab\\ z& =& a^2+b^2\end{array}$

Tal fórmula é equivalente àquela deduzida anteriormente, como se pode verificar facilmente: Predefinição:Demonstração

Exercícios

1. Mostre que se $a^2=b\cdot c,$ com $b,c$ primos entre si, então $b,c$ são quadrados perfeitos.