Teoria de números/Divisibilidade

A teoria de números é a área da matemática em que é estudado o anel dos números inteiros. O conjunto dos números inteiros é denotado por $ℤ$ , sendo que:

ℤ = {\dots, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, \dots}

O conjunto $ℤ$ pode ser definido formalmente a partir do conjunto dos números naturais $ℕ = {0, 1, 2, 3, \dots}$ e estes, a partir dos axiomas de Peano. Para maiores detalhes sobre o assunto pode ser consultado o "capítulo específico" do wikilivro sobre álgebra abstrata, ou o livro de [[../Bibliografia#Milies & Coelho (2003)|Milies & Coelho (2003)]].

O conjunto dos números inteiros é definido juntamente com duas operações: a adição e a multiplicação.

A estrutura aditiva dos números inteiros é trivial. Acompanhe os exemplos:

-2	-1	0	1	2	3	4	$\dots$
$- 1 - 1$	$- 𝟏$	$1 - 1$	$𝟏$	$1 + 1$	$(1 + 1) + 1$	$(1 + 1) + (1 + 1)$	$\dots$

Como se pode observar, qualquer número inteiro pode ser "formado aditivamente" a partir do número 1. Nesse sentido, a unidade é o "bloco básico" a partir do qual são construídos todos os números inteiros, usando-se as propriedades da operação de adição (como por exemplo a associatividade e a existência de elemento oposto).

Além disso, dado um número inteiro, sua decomposição em "blocos básicos" é essencialmente uma só. Por exemplo, se considerarmos o número 5, teremos:

𝟓 = 2 + 2 + 1 = (1 + 1) + (1 + 1) + 1

𝟓 = 2 + 1 + 2 = (1 + 1) + 1 + (1 + 1)

No entanto, a única diferença entre duas representações do 5 é a posição dos parêntesis. Não há uma mudança significativa.

Já a estrutura multiplicativa de $ℤ$ é muito mais sofisticada. Veja alguns exemplos:

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	$\dots$
bloco básico	bloco básico	$2 \cdot 2$	bloco básico	$2 \cdot 3$	bloco básico	$(2 \cdot 2) \cdot 2$	$3 \cdot 3$	$2 \cdot 5$	bloco básico	$(2 \cdot 2) \cdot 3$	$\dots$

Como deve ter percebido, quando se trata da operação de multiplicação, não existe um único bloco básico que gere todos os outros números. Por exemplo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 não têm como ser obtidos a partir da multiplicação de dois números inteiros (além de 1 e eles próprios), mas permitem gerar outros números: $6 = 2 \cdot 3$ , $10 = 2 \cdot 5$ e assim por diante. Parece razoável que todos os inteiros podem ser gerados dessa maneira, bastando encontrar os blocos básicos adequados.

Mas será que mesmo sendo necessários mais "blocos básicos" para a estrutura multiplicativa que para a aditiva, um número inteiro sempre será decomposto de forma única em tais blocos?

Como foi visto, isso é o que acontece na estrutura aditiva. No entanto, para responder (de forma afirmativa) a esta pergunta, será necessário definir o conceito de divisibilidade, e conhecer de suas algumas propriedades. Este é o conteúdo da próxima seção.

Definição de divisibilidade

Predefinição:Definição

O conceito apresentado acima define uma relação binária no conjunto dos números inteiros: a divisibilidade.

Lembre-se que uma relação binária sobre $ℤ$ é qualquer subconjunto $R$ do conjunto das partes de $ℤ$ , $P (ℤ)$ . No caso da divisibilidade, tem-se:

R = {(a, b) | a divide b}

Nesses termos, quando $(a, b) \in R$ costuma-se dizer que $a$ está relacionado com $b$ escrevendo-se $a R b$ .

Propriedades da divisibilidade

A relação de divisibilidade possui as seguintes propriedades, para quaisquer (salvo indicação em contrário) inteiros $a, b, c, d, r, s$ :

1. $a \| a$	(reflexividade)
2. $a \| b$ e $b \| c$ implica $a \| c$	(transitividade)
3. $a \| b$ e $b \| a$ implica $a = b$ ou $a = - b$
4. $c \| a$ e $c \| b$ implica $c \| r a + s b$	(linearidade)
5. $a \| b$ e $c \| d$ implica $a c \| b d$
6. $a \| b$ implica $a c \| b c$	(multiplicatividade)
7. $a c \| b c$ e $c ≠ 0$ implica $a \| b$	(lei do cancelamento)
8. $1 \| a$	( $1$ divide todo número inteiro)
9. $a \| 0$	(todo número inteiro divide zero)
10. $0 \| a$ implica $a = 0$	(zero só divide zero)
11. $a \| 1$ implica $a = \pm 1$	(os divisores de 1 são 1 e -1)
12. $a \| b$ e $b ≠ 0$ implica $\| a \| \leq \| b \|$	(compatibilidade com a ordem " $\leq$ ")
13. $a \| b$ e $a ≠ 0$ implica $(b / a) \| b$

Predefinição:Demonstração/Início 1. Como $a = 1. a$ segue da definição que $a | a$ .

2. Se $a | b$ e $b | c$ , então existem $q_{1}, q_{2} \in ℤ$ tais que $b = a q_{1}$ e $c = b q_{2}$ , logo $c = a q_{1} q_{2}$ e portanto $a | c$ .

3. $a | b$ implica que $a \geq b$ . E se $b | a$ , então $b \geq a$ . Logo como $a$ não pode ser menor que $b$ e $b$ não pode ser menor que $a$ ao mesmo tempo, temos que $a = b$ . $a = - b$ e $- b = a$ também são possíveis, já que a diferença entre $b / a$ e $b / - a$ é somente o sinal do quociente. O mesmo vale para $b / a$ e $- b / a$ .

4. Como $c | a$ e $c | b$ temos que $a = q_{1} c$ e $b = q_{2} c$ com $q_{1}$ e $q_{2}$ $\in ℤ .$ . Multiplicando a primeira igualdade por $r$ e a segunda por $s$ , temos $r a = r q_{1} c$ e $s b = s q_{2} c$ . Somando membro a membro e colocando $c$ em evidência: $r a + s b = (r q_{1} + s q_{2}) c$ daí como $r q_{1} + s q_{2}$ é inteiro segue por definição que $c | r a + s b$ .

5. Tendo $a | b$ e $c | d$ , podemos transformar $a | b$ e $c | d$ em equações: $b / a = x$ e $d / c = y$ , sendo $x$ e $y$ os quocientes das divisões. Multiplicando ambas as equações temos: $b d / a c = x y$ . Assim, já que $x y$ é o quociente da divisão $b d / a c$ (cujo resto $= 0$ ), temos que $a c | b d$ .

6. Adicionando fatores comuns no dividendo e divisor da equação $b / a = x$ (divisão exata), que implica em $a | b$ ; não altera o resultado da divisão, pois: $b c / a c = (b / a) (c / c)$ . Como $c / c = 1$ : $(b / a) (c / c) = 1 (b / a) = b / a$ . Assim $b / a = b c / a c$ , que implica em $a c | b c$ .

7. Como $a | b$ vem de $b / a = x$ (c = quociente), $a c | b c$ vem de $b c / a c = x$ , no qual podemos tirar $c$ da divisão, já que ele é um fator comum no dividendo e divisor de $b c / a c$ . Assim $a c | b c = a | c$ .

8. $1 a = a$ implica que $a / 1 = a$ . Assim $1 | a$ .

9. $0 a = 0$ implica que $0 / a = 0$ . Logo $a | 0$ .

10. $a | 0$ pode ser transformado em $a / 0 = x$ . Como não existe divisão por 0 (já que tendo $0 x = 0$ e não existe número que multiplicado por 0 dê x </math>), o único número que pode estar no dividendo é 0. Logo $0 | a$ implica em $a = 0$ .

11. $a | 1$ implica que $1 / a$ . Como os divisores de $1 = 1; - 1$ , temos que $a = \pm 1$ .

12. Como $a | b$ e $b \neq 0$ podemos escrever $b = a q$ com $q \neq 0$ . Assim, $| q | \geq 1$ e $| b | = | a | | q | \geq | a |$ .

13. Transformando $a | b$ em equação, temos $b / a = c$ . Utilizando-se da propriedade da divisão: tendo $b / a = c$ podemos inverter o quociente e o divisor (já que $(q u o c i e n t e) (d i v i s o r) = d i v i d e n d o$ , e os fatores podem ser reordenados sem mudar o resultado) para termos: $b / c = a$ . Assim: $b / a = c$ e $b / c = a$ implicam em $c | b = (b / a) | b$ .Predefinição:Demonstração/Fim

Observações

A terceira propriedade seria chamada de anti-simetria, se não fosse necessário considerar o caso " $a = - b$ ". Quando são considerados apenas os números não-negativos (os elementos de $ℤ_{+}$ ) a conclusão é apenas " $a = b$ ", e as propriedades de 1 a 3 fazem da divisibilidade uma relação de ordem parcial sobre $ℤ_{+}$ . No entanto, essa não é uma ordem total, pois nem todo par de elementos em $ℤ_{+}$ é comparável, ou seja, existem inteiros não negativos $a$ e $b$ , para os quais não se tem $a | b$ nem $b | a$ .

Frequentemente é mais prático trabalhar apenas com o conjunto dos números naturais $ℕ$ (o subconjunto dos inteiros não-negativos $ℤ_{+}$ ) ou com os números naturais não nulos $ℕ^{*}$ (os inteiros positivos $ℤ_{+}^{*}$ ).

As propriedades 1 e 8 garantem que todo número inteiro não negativo $a$ , diferente de $1$ , possui ao menos dois divisores, chamados de divisores triviais: $1$ e $a$ . Os números que possuem somente estes divisores são de grande interesse na teoria de números, e serão estudados no próximo capítulo.

Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Predefinição:Wikipedia Nas aulas de matemática do ensino fundamental, é possível que você tenha aprendido algumas regras (ou critérios) para saber rapidamente se um certo número é divisível por outro. Por exemplo, você identifica rapidamente que um número é par quando nota que o seu último dígito é par, assim como reconhece de imediato os múltiplos de 5, pois sabe que o seu dígito das unidades é sempre 0 ou 5.

O que talvez você não saiba é que podem ser deduzidos critérios de divisibilidade para vários outros números, senão todos, embora nem sempre tais regras sejam simples e fáceis de memorizar. Uma listagem das regras mais populares é apresentada na próxima tabela. Note que as regras descritas transformam um certo número em outro, geralmente menor, que preserva a divisibilidade pelo divisor em questão. Além disso, sempre que não fica claro se um número é múltiplo de certo divisor, a mesma regra pode ser aplicada novamente ao resultado já obtido, até que se torne evidente se determinado resultado é ou não divisível pelo divisor em questão.

Um número é divisível por...	quando...	Exemplos
1	sempre!	Qualquer número inteiro é divisível por 1.
2	seu dígito das unidades é par (ou seja, 0, 2, 4, 6, ou 8).	1 294 é par^[1], pois 4 é par.
3	é divisível por 3 a soma dos seus dígitos.^[2]	405 é divisível por 3, pois 4 + 0 + 5 = 9, que é múltiplo de 3.
4	é divisível por 4 o dígito das unidades somado com o dobro do dígito das dezenas.	5 096 é múltiplo de 4, pois 6 + (2 × 9) = 24 que é múltiplo de 4
4	é divisível por 4 o número formado pelos dois últimos dígitos.	70 841 não é divisível por 4, pois 41 não é.
5	o dígito das unidades é 0 ou 5.	123 456 7890 é divisível por 5, já que seu último dígito é 0.
6	é divisível por 2 e por 3.	24 é divisível por 6, já que seu é múltiplo de 2 e de 3.
6	é divisível por 6 a soma do dígito das unidades com o quádruplo da soma dos demais dígitos.	12 348 é divisível por 6, pois (1 + 2 + 3 + 4) × 4 + 8 = 48
7	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 7 a soma alternada dos números formados pelos blocos de três dígitos (da direita para esquerda).	1 369 851 é divisível por 7, pois 851 - 369 + 1 = 483 = 7 × 69
	é divisível por 7 a soma do número formado pelos dois últimos dígitos com o dobro do número formado ao desconsiderar estes dígitos.	364 é divisível por 7, uma vez que (3 × 2) + 64 = 70.
	é divisível por 7 a soma do quíntuplo do último dígito com o número formado pelos dígitos restantes.	364 é divisível por 7, já que 36 + (4 x 5) = 56.
	é divisível por 7 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o dobro deste dígito.	364 é divisível por 7, pois 36 − (4 x 2) = 28.
8	vale qualquer dessas propriedades:
	o dígito das centenas é par e o número formado pelos dois últimos dígitos é divisível por 8.	12 345 624 é divisível por 8, pois 6 é par e 24 = 3 x 8.
	o dígito das centenas é ímpar e o número formado pelos dois últimos dígitos, somado com 4 é divisível por 8.	12 352, é múltiplo de 8, já que 3 é ímpar e 52 + 4 = 56 = 7 x 8.
	é divisível por 8 a soma do último dígito com o dobro do número formado pelos demais.	136 é divisível por 8, uma vez que (13 × 2) + 6 = 32.
9	é divisível por 9 a soma dos seus dígitos.^[3]	3 753 é múltiplo de 9, pois 3 + 7 + 5 + 3 = 18 e 1 + 8 = 9
10	o último dígito é 0.	135790 é múltiplo de 10, pois seu último dígito é 0.
11	vale qualquer dessas propriedades:
	é divisível por 11 a soma alternada dos seus dígitos.	918 082 é múltiplo de 11, pois 9 - 1 + 8 - 0 + 8 - 2 = 22 = 2 x 11.
	é múltiplo de 11 a soma dos números formados pelos blocos de dois dígitos (da direita para a esquerda).	627 é múltiplo de 11, pois 6 + 27 = 33 = 3 x 11.
	é múltiplo de 11 a diferença entre o número formado ao desconsiderar o último dígito e o último dígito.	627 é múltiplo de 11, já que 62 - 7 = 55 = 5 x 11..

Por que esses critérios funcionam?

Diante de tantas regras, é natural não acreditar de imediato que elas sejam todas infalíveis. Você já deve ter feito (ou ouvido alguém fazer) pelo menos uma pergunta desse tipo:

Quem disse que esses Predefinição:Wikt funcionam sempre?

Por acaso alguém já testou algum deles para todos os números, e viu que nunca falham?

Quem é que Predefinição:Wikt essas regras?

É possível encontrar um critério para os números que não estão na tabela?

Antes de responder a essas e outras perguntas do gênero, é interessante apresentar um resultado fundamental da teoria de números. O enunciado não deve parecer uma grande novidade, pois formaliza o tão conhecido algoritmo de divisão, aquele processo utilizado ao dividir dois números manualmente. Se estiver um pouco "enferrujado", experimente calcular o resultado da divisão de 39629376 por 321, para relembrar as suas primeiras aulas de matemática...

Algoritmo da divisão (de Euclides)

Predefinição:Teorema Uma formulação alternativa é a seguinte:

Dados os números inteiros $a$ e $b$ , ou $a$ é múltiplo de $b$ ou está entre dois múltiplos consecutivos de $b$ . Predefinição:Wikipedia Predefinição:Demonstração

Um último passo antes de apresentar a justificativa formal para os critérios de divisibilidade mostrados anteriormente é entender como funciona o sistema de numeração decimal.

Sistemas de numeração

Conforme é ensinado nos primeiros anos de escola, um número como 726 representa a soma de 7 centenas com 2 dezenas e 6 unidades, ou seja,

726 = 𝟕 \cdot 100 + 𝟐 \cdot 10 + 𝟔 \cdot 1

Em geral, cada número inteiro não negativo possui uma única representação decimal $a_{n} \dots a_{2} a_{1} a_{0}$ . Este é um resultado de extrema utilidade no cotidiano, pois é graças a tal sistema de numeração que estão a disposição algoritmos tão simples para a realização de adições, subtrações, multiplicações e divisões. Ou você é capaz de se imaginar realizando uma divisão de 646 por 38 utilizando o sistema de numeração inventado pelos romanos? (Experimente: DCXLVI dividido por XXXVIII é igual a...)

Dada a importância do sistema de numeração decimal, é justo enunciar e justificar precisamente o seu funcionamento. Isso é feito no próximo teorema, que garante a existência de representações posicionais em qualquer base, não apenas na base 10.

Predefinição:Teorema Predefinição:Demonstração/Início Utilizando o algoritmo da divisão é possível obter cada dígito de uma tal representação, um após o outro, começando pelo dígito das unidades. De fato, ao dividir o número em questão pelo valor da base, consegue-se:

a = q_{0} b + a_{0}

Fazendo o mesmo com $q_{0}$ , resulta:

q_{0} = q_{1} b + a_{1}

Repetindo o procedimento com cada quociente $q_{i}$ , será construída uma sequência decrescente:

a > q_{0} > q_{1} > q_{2} > \dots

Certamente algum termo da sequência deve ser igual a unidade, pois todos são números inteiros e nenhum deles é negativo. Então considere que $q_{n} = 1$ , ou seja, que o algoritmo da divisão fornece $q_{n - 1} = 1 \cdot b + 0$ . Neste ponto o processo pode ser interrompido, e nota-se que:

$a$	$= q_{0} b + a_{0}$
	$= (q_{1} b + a_{1}) b + a_{0}$	$= q_{1} \cdot b^{2} + a_{1} \cdot b^{1} + a_{0}$
	$= ((q_{2} b + a_{2}) b + a_{1}) b + a_{0}$	$= q_{2} \cdot b^{3} + a_{2} \cdot b^{2} + a_{1} \cdot b^{1} + a_{0}$
	$⋮$
	$= ((? ? ?) b + a_{1}) b + a_{0}$	$= a_{n} \cdot b^{n} + \dots + a_{2} \cdot b^{2} + a_{1} \cdot b^{1} + a_{0}$

Predefinição:Demonstração/Fim

Observações

Quando a base não é 10, é comum usar a notação $(a_{n} \dots a_{2} a_{1} a_{0})_{b}$ para explicitar esse fato.
Os sistemas que utilizam a base 2 (binário), a base 8 (octal) e a base 16 (hexadecimal) são particularmente úteis na informática e na eletrônica digital.
O sistema de numeração com base 60 (sexagesimal) foi inventado pelos Sumérios, e ainda é utilizado para a contagem de minutos e segundos, tanto para indicar períodos de tempo quanto para medir ângulos.

Exemplos

De posse dessas informações, já é possível demonstrar a validade dos critérios de divisibilidade dados pela tabela anterior. Nos próximos exemplos serão demonstrados alguns desses critérios. Os demais são deixados como exercício para o leitor.

Exercícios

Justifique a validade de cada uma das propriedades da divisibilidade apresentadas no texto.

Predefinição:AutoCat

en:Number Theory/Elementary Divisibility

Notas

↑ Veja a Predefinição:WolframAlpha e outras informações sobre este número no Wolfram Alpha (em inglês).
↑ Conforme diversos livros
↑ Conforme diversos livros

[wa1294-1] Veja a Predefinição:WolframAlpha e outras informações sobre este número no Wolfram Alpha (em inglês).

[div3-2] Conforme diversos livros

[div9-3] Conforme diversos livros

[1]

[2]

[3]

1. $a \| a$	(reflexividade)
2. $a \| b$ e $b \| c$ implica $a \| c$	(transitividade)
3. $a \| b$ e $b \| a$ implica $a = b$ ou $a = - b$
4. $c \| a$ e $c \| b$ implica $c \| r a + s b$	(linearidade)
5. $a \| b$ e $c \| d$ implica $a c \| b d$
6. $a \| b$ implica $a c \| b c$	(multiplicatividade)
7. $a c \| b c$ e $c ≠ 0$ implica $a \| b$	(lei do cancelamento)
8. $1 \| a$	( $1$ divide todo número inteiro)
9. $a \| 0$	(todo número inteiro divide zero)
10. $0 \| a$ implica $a = 0$	(zero só divide zero)
11. $a \| 1$ implica $a = \pm 1$	(os divisores de 1 são 1 e -1)
12. $a \| b$ e $b ≠ 0$ implica $\| a \| \leq \| b \|$	(compatibilidade com a ordem " $\leq$ ")
13. $a \| b$ e $a ≠ 0$ implica $(b / a) \| b$

Teoria de números/Divisibilidade

Índice

Definição de divisibilidade

Propriedades da divisibilidade

Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Por que esses critérios funcionam?

Algoritmo da divisão (de Euclides)

Sistemas de numeração

Observações

Exemplos

Divisibilidade por 2

Divisibilidade por 3

Divisibilidade por 11

Exercícios

Notas

Menu de navegação

Teoria de números/Divisibilidade

Definição de divisibilidade

Propriedades da divisibilidade

Critérios de divisibilidade no sistema de numeração decimal

Por que esses critérios funcionam?

Algoritmo da divisão (de Euclides)

Sistemas de numeração

Observações

Exemplos

Divisibilidade por 2

Divisibilidade por 3

Divisibilidade por 11

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