Teoria de números/Congruências

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss foi um famoso matemático, astrônomo e físico alemão.

Definição

Com essa notação, tem-se para quaisquer inteiros $x,y$:

$x^2+y^2\equiv ̸3(\mathrm{mod}4)$

pois

$k\equiv 0(\mathrm{mod}2)\Rightarrow k^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$

e

$k\equiv 1(\mathrm{mod}2)\Rightarrow k^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$

Como se pode ver na próxima tabela, onde são listadas todas as combinações possíveis para $x^2,y^2$ e $x^2+y^2$ módulo $2$, a soma de dois quadrados nunca é congruente a $3$ módulo $4$.

${}_{x^2}╲{}^{y^2}$	0	1
0	0	1
1	1	2

Em outras palavras, o simples cálculo feito acima mostra que ao somar dois quadrados perfeitos, o sucessor do resultado nunca é múltiplo de $4$.

Nota

$x\equiv y(\mathrm{mod}m)\iff m|x-y$ $\iff \mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},x-y=mk\iff \mathrm{\exists }k\in \mathbb{Z},x=y+mk$

Sendo assim, a notação para congruências, introduzida por Gauss evita o uso de várias constantes ($k,c,m,t,\dots$) que não são relevantes durante grande parte dos cálculos envolvendo divisibilidade. Atente para a semelhança (visual) entre as seguintes expressões:

$x\equiv y(\mathrm{mod}m)$

$x=y+mk$

Observação

Conforme o [[../Divisibilidade#Algoritmo da divisão (de Euclides)|algoritmo da divisão]], dados $a\in \mathbb{Z}$ e $m\in {\mathbb{Z}}^{*}$existem únicos $q,r\in \mathbb{Z}$ de modo que:

$a=mq+r$, com $0\le r<m$

Isso significa que qualquer inteiro $a$ é congruente ao seu resto $r$ na divisão por um inteiro não nulo $m$. Uma vez que o resto obtido é único, pode-se definir para cada inteiro $m=0$ fixado, uma função ${\rho }_m$ que a cada número $a\in \mathbb{Z}$ associa o resto da divisão de $a$ por $m$. A imagem de $a$ por esta função é denotada por $a(\mathrm{mod}m)$. Mais precisamente:

${\rho }_m:\mathbb{Z}\to \{0,1,2,\dots ,m-1\}$

${\rho }_m(a)=a(\mathrm{mod}m)$

Quando não houver risco de confusão, o índice $m$ será omitido e será escrito apenas $\rho$ em vez de ${\rho }_m$.

A congruência vista como uma relação de equivalência

A partir da noção de congruência módulo um certo inteiro $m$, pode-se definir uma relação sobre o conjunto dos números inteiros da seguinte forma:

$x\sim y\iff x\equiv y(\mathrm{mod}m)$

Como será mostrado logo a diante, a relação assim definida satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria, transitividade. Sendo, por isso, considerada uma relação de equivalência:

1. $\mathrm{\forall }x,x\equiv x(\mathrm{mod}m)$
2. $x\equiv y(\mathrm{mod}m)\Rightarrow y\equiv x(\mathrm{mod}m)$
3. $x\equiv y(\mathrm{mod}m)\wedge y\equiv z(\mathrm{mod}m)\Rightarrow x\equiv z(\mathrm{mod}m)$

De modo geral, é sempre possível construir uma relação de equivalência sobre um conjunto $X$ a partir de uma função cujo domínio seja $X$. De fato, se for definido que:

$x\sim y\iff f(x)=f(y)$

então $\sim$ será uma relação de equivalência em $X$, pois $\mathrm{\forall }x,y\in X$:

1. $f(x)=f(x)$
2. $f(x)=f(y)\Rightarrow f(y)=f(x)$
3. $f(x)=f(y)\wedge f(y)=f(z)\Rightarrow f(x)=f(z)$

E destas propriedades da igualdade seguem as propriedades correspondentes para a relação $\sim$. Em particular, tomando $X=\mathbb{Z}$, e $f(x)=x(\mathrm{mod}m)$, conclui-se que a congruência é uma relação de equivalência.

Compatibilidade com as operações

Um fato importante, que não pode deixar de ser mencionado é que a relação de congruência é compatível com as operações do anel dos números inteiros, a saber, a adição e a multiplicação. Uma operação $\star$é compatível com uma relação de equivalência $\sim$ quando a partir de

$\{\begin{array}{ccc}a& \sim & a^{\prime }\\ b& \sim & b^{\prime }\end{array}$

pode-se concluir que

$a\star b\sim a^{\prime }\star b^{\prime }$

No caso da relação de congruência, vê-se que a mesma é compatível tanto com a adição quanto com a multiplicação de números inteiros, como é sintetizado no próximo resultado.

A verificação deste resultado é bem simples, como se pode ver a seguir. Predefinição:Demonstração

O anel das classes de congruência

Uma relação de equivalência particiona um conjunto em vários subconjuntos disjuntos, chamadas classes de equivalência.

Sempre que se tem uma relação de equivalência $\sim$ sobre um conjunto $X$ é possível definir uma partição $P$ de tal conjunto. Uma coleção $P$ de subconjuntos de $X$ é chamada de partição de $X$ se todo elemento de $X$ pertence a exatamente um elemento de $P$. Os elementos de $P$ são disjuntos dois a dois, e sua união é o próprio conjunto $X$.

Para definir uma partição de $\mathbb{Z}$, usando a congruência módulo $m$, primeiramente define-se para cada inteiro $a$ a classe de equivalência de $a$, segundo $\sim$, como:

$[a{]}_m=\{x\in \mathbb{Z};x\equiv a(\mathrm{mod}m)\}$

Quando o inteiro $m$ estiver subentendido, será utilizado apenas $[a]$ para denotar $[a{]}_m$.

Nesses termos, o quociente de $\mathbb{Z}$ pela relação $\equiv (\mathrm{mod}m)$ é a partição dada por:

$\mathbb{Z}{/}_{\equiv (\mathrm{mod}m)}=\{[a{]}_m;a\in \mathbb{Z}\}$

Por simplicidade, denota-se $\mathbb{Z}{/}_{\equiv (\mathrm{mod}m)}$ simplesmente como ${\mathbb{Z}}_m$.

Uma das formas de visualizar essa partição de $\mathbb{Z}$ é imaginar que sobre um barbante foram marcados todos os números inteiros, separando os números adjacentes sempre por uma mesma distância. Depois disso, para obter uma representação de ${\mathbb{Z}}_m$, enrola-se o barbante em torno de uma circunferência (infinitas vezes!), de modo que o zero ocupe a mesma posição que os inteiros $\dots ,-2n,-n,n,2n,3n,\dots$. Você pode então pensar nos elementos de ${\mathbb{Z}}_n$ como sendo os n pontos sobre a circunferência que se formou. Veja uma ilustração:

Deste modo, cada ponto da circunferência representa uma das classes de equivalência módulo $n$, ou seja, o conjunto dos números inteiros que ficaram sobrepostos naquele ponto da circunferência.

Mas o que há de interessante em particionar o conjunto dos números inteiros?

A grande utilidade de separar os números inteiros em várias classes de congruência é consequência da compatibilidade da congruência com as operações de adição e multiplicação: Sabendo-se que elas são compatíveis, é possível definir em cada ${\mathbb{Z}}_m$ novas operações de adição e multiplicação. O procedimento é o seguinte:

Fixado um inteiro $m$, e dadas as classes $[a],[b]$, define-se:

$[a]+[b]=[a+b]$

$[a]\times [b]=[a\times b]$ (ou simplesmente $[a][b]=[ab]$)

Em outras palavras, a soma (produto) das classes de congruência dos inteiros $a,b$ é a classe de congruência de sua soma (produto).

É importante notar onde é utilizada a compatibilidade da congruência com as operações de $\mathbb{Z}$: Dadas duas classes de equivalência $A=[a]=[a^{\prime }]$ e $B=[b]=[b^{\prime }]$, tanto faz obter $[A]+[B]$ como sendo $[a+b],[a^{\prime }+b],[a+b^{\prime }]$ ou $[a^{\prime }+b^{\prime }]$. Todas essas classes são idênticas!

Mais do que isso, ao definir essas operações, $({\mathbb{Z}}_m,+,\times )$ torna-se um anel com unidade, ou seja, são válidas as seguintes propriedades:

Além disso, tem-se um homomorfismo de anéis entre $\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots \}$ e ${\mathbb{Z}}_m=\{m\mathbb{Z}+0,m\mathbb{Z}+1,\dots ,m\mathbb{Z}+(m-1)\}$:

$\rho :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_m$

$\rho (x)=[x]=[x(\mathrm{mod}m)]$

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Recordando...

Um anel com unidade é um conjunto R equipado com duas operações binárias + : R × R ? R e · : R × R ? R (onde × denota o produto cartesiano), chamadas de adição e multiplicação, tais que:

• (R, +) é um grupo abeliano com elemento identidade, isto é, para todo a, b, c em R, vale o seguinte:
  • (a + b) + c = a + (b + c) (+ é associativa)
  • 0 + a = a (0 é a identidade)
  • a + b = b + a (+ é comutativa)
  • para cada a em R existe −a em R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0 (−a é o elemento inverso de a)
• (R, ·) é um monóide com elemento identidade 1, isto é, para todo a, b, c em R, vale:
  • (a · b) · c = a · (b · c) (· é associativa)
  • 1 · a = a · 1 = a (1 é a identidade)
• Multiplicação se distribui em relação a adição:
  • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
  • (a + b) · c = (a · c) + (b · c).

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Exemplos

As próximas tabelas são as tabuadas das operações de adição e multiplicação no anel ${\mathbb{Z}}_6$. Note que este é um número composto, e que (por esse motivo) existem elementos não nulos em ${\mathbb{Z}}_6$ cujo produto é zero (no caso, $2\times 3=3\times 4=0$).

$+$	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

$\times$	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Outro fato curioso que pode ser identificado em alguns anéis é a presença de elementos nilpotentes, ou seja, tais que alguma de suas potências é nula. Por exemplo, em ${\mathbb{Z}}_{12}$, tem-se $6^2=0$.

Veja a tábua de multiplicação completa para o anel de inteiros módulo $12$:

$\times$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	0	2	4	6	8	10	0	2	4	6	8	10
3	0	3	6	9	0	3	6	9	0	3	6	9
4	0	4	8	0	4	8	0	4	8	0	4	8
5	0	5	10	3	8	1	6	11	4	9	2	7
6	0	6	0	6	0	6	0	6	0	6	0	6
7	0	7	2	9	4	11	6	1	8	3	10	5
8	0	8	4	0	8	4	0	8	4	0	8	4
9	0	9	6	3	0	9	6	3	0	9	6	3
10	0	10	8	6	4	2	0	10	8	6	4	2
11	0	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

O próximo passo é tentar compreender algebricamente os conjuntos $({\mathbb{Z}}_m,+)$.

Predefinição:Tarefa No próximo diagrama pode ser observada a estrutura aditiva de $({\mathbb{Z}}_m,+)$:

$\rho :\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_m$

$GH$

$mZ\to 0$

$H$ é subgrupo aditivo de ${\mathbb{Z}}_m$.

$H=\rho (G)$, $G$ subgrupo aditivo de ${\mathbb{Z}}_m$

$mZ=ker(\rho )\subset G$

$G=d\mathbb{Z}$

$m\mathbb{Z}\subset d\mathbb{Z}\iff d|m$. Logo $H=d\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$

$\bar{x}\in {\mathbb{Z}}_m$

$or{d}_m^{+}(x)=k$

$\overline{k\cdot x}=k\cdot \bar{x}=\bar{0}$

$kx\equiv 0(\mathrm{mod}m)$

Menor $k$ tal que $m|kx$. $kx=mmc(x,m)=\frac{x\cdot m}{(x,m)}$

$or{d}_m^{+}(x)=\frac{m}{(x,m)}$

$(x,m)=1\Rightarrow \bar{x}$ gera ${\mathbb{Z}}_m$, ou seja são os blocos básicos.

Observe a seguinte tabela, onde constam as ordens aditivas módulo 6.

$+$	1	2	3	4	5	6
0	0
1	1	2	3	4	5	0
2	2	4	0
3	3	0
4	4	2	0
5	5	4	3	2	1	0

$G=d\mathbb{Z}$

$m\mathbb{Z}\subset d\mathbb{Z}\iff d|m$. Logo $H=d\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$

Corolário da p7

Se p é primo então ${\mathbb{Z}}_p$ não tem subgrupos triviais.

$xy\equiv 0(\mathrm{mod}p)$

$p|xy\Rightarrow p|x$ ou $p|y$. Isso implica que $x=\bar{0}$ ou $y=\bar{0}$, donde ${\mathbb{Z}}_p$ é domínio de integridade e portanto, ${\mathbb{Z}}_p$ é corpo (todo domínio finito é corpo).

Exemplo:

$\times$	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Outra consequencia é que, fixado z não nulo em Z_p, a função $\mu :{\mathbb{Z}}_p\to {\mathbb{Z}}_p$, definida por $\mu (x)=zx$ é injetiva, pois se $\mu (x)=\mu (x^{\prime })$, ou seja, $zx\equiv z{x}^{\prime }(\mathrm{mod}p)$, então $z(x-x^{\prime })\equiv 0(\mathrm{mod}p)$. Como $(z,p)=1$, pode-se concluir que $x-x^{\prime }\equiv 0(\mathrm{mod}p)$, ou seja, $x\equiv x^{\prime }(\mathrm{mod}p)$.

Em particular, da sobrejetividade de $\mu$, e de $1\in {\mathbb{Z}}_p$ (a imagem de $\mu$), segue a existência de $z^{\prime }\in {\mathbb{Z}}_p$ tal que $\mu (z^{\prime })=1$, ou seja, tal que $z{z}^{\prime }\equiv 1(\mathrm{mod}p)$.

Algebricamente, o significado da sobrejetividade de $\mu$ é a existência de um elemento inverso para cada $z\in {\mathbb{Z}}_p$ (quando p é primo). No entanto, a argumentação anterior é não construtiva, pois não indica um método para obter o inverso de um certo $z\in {\mathbb{Z}}_p$.

Pode-se obter outra justificativa para a existência de elementos inversos em ${\mathbb{Z}}_p$ usando o teorema de Bezout. De fato, $\overline{z}=\overline{0}$ se, e somente se, $p|z$, ou seja, se, e somente, $(p,z)=1$. Usando o algoritmo de Euclides, pode-se então encontrar $u,v\in \mathbb{Z}$ tais que $pu+zv=1$. Em particular, usando congruências módulo p segue $pu+zv\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Donde $0+zv\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, ou seja, $zv\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. Portanto, o $z^{\prime }$ procurado é simplesmente $v(\mathrm{mod}p)$.

Resumindo

Os fatos mais relevantes apresentados na discussão feita até agora podem ser sintetizados da seguinte forma:

• Para qualquer $m\in \mathbb{Z}$, tem-se um anel finito ${\mathbb{Z}}_m$;
• São equivalentes:
  • ${\mathbb{Z}}_m$ é corpo;
  • ${\mathbb{Z}}_m$ é um domínio;
  • $m$ é um número primo;

(propriedades algébricas dos conjuntos ${\mathbb{Z}}_m$ -- anéis regulares --correspondem a propriedades aritméticas dos numeros inteiros $m$).

• São também equivalentes:
  • ${\mathbb{Z}}_m$ tem divisores de zero;
  • $m$ é um número composto;

Unidades

Para um inteiro $m$ arbitrário (seja ele primo ou não), podem ser considerada a questão:

Quais elementos de ${\mathbb{Z}}_m$ são inversíveis?

Antes de responder essa pergunta, convém introduzir uma notação específica para denotar o conjunto dos elementos $u\in {\mathbb{Z}}_m$ que possuem inverso multiplicativo:

Exemplos

• Se p é número primo, então $U_m={\mathbb{Z}}_m/\{0\}=\{\overline{1},\overline{2},\dots ,\overline{p-1}\}$

• $U_6=\{\overline{1},\overline{5}\}=\{\pm \overline{1}\}$

• $U_7=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5},\overline{6},\overline{7}\}$

Propriedades das unidades

Pode-se verificar que para qualquer $m$, o conjunto $U_m$, das unidades de ${\mathbb{Z}}_m$, é um grupo multiplicativo finito. Em particular, sempre que $u,v\in U_m$, tem-se $uv\in U_m$. Além disso, $1\in U_m$ e existe $v\in U_m$ tal que $uv=1$.

Novamente, a estrutura de $U_m$ reflete as propriedades aritméticas de $m$. Para melhor entender o que isso significa, é interessante saber para cada $m$ a quantidade de elementos de $U_m$. É razoável esperar que esse número varie com $m$, então o melhor é definir uma função que associa $m$ com a cardinalidade de $U_m$:

Observações

• Convenciona-se que $\varphi (1)=1$.
• O valor $\varphi (m)$ é justamente a quantidade de números de $1$ a $m$ que são coprimos com $m$:

Exemplos

• Quando $p$ é um número primo, tem-se $\varphi (p)=p-1$.
• Por outro lado, para números compostos, $\varphi (m)$ pode ser bem menor do que $m-1$. Em particular, $\varphi (6)=|U_6|=|\{\pm \overline{1}\}|=2<5-1=4$.

Curiosidades

O valor de $\varphi (m)$ é justamente a quantidade de frações próprias não negativas com denominador $m$ (ou seja, $\frac{0}{m},\frac{1}{m},\dots ,\frac{m-1}{m}$) que já estão na forma irredutível.

Exemplo

No caso $m=6$ apresentado anteriormente, temos as seguintes frações próprias com tal denominador:

$\frac{0}{6},\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6},\frac{4}{6},\frac{5}{6}$

Escrevendo cada uma delas na forma irredutível obtém-se:

$\frac{0}{1},\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{5}{6}$

Pode-se então conferir que, como era esperado, só duas das frações já estavam em sua forma irredutível: $\frac{1}{6}$ e $\frac{5}{6}$.

Note que ao escrever cada fração em sua forma irredutível os denominadores que surgem são todos divisores de $m=6$. Além disso, tem-se:

• 1 fração com denominador 1
• 1 fração com denominador 2
• 2 fração com denominador 3
• 2 fração com denominador 6

Totalizando $1+1+2+2=6$ frações. Por outro lado, a seguinte tabela indica um fato muito interessante:

d	Número de frações com denominador d	$\varphi (d)$
1	1	1
2	1	1
3	2	2
6	2	2

Percebe-se que as duas últimas colunas coincidem. Mas o que isso significa?

Isso quer dizer que o número $m=6$ é, na verdade, igual a soma dos valores $\varphi (d)$ de cada um dos divisores $d$. Em símbolos:

$6=1+1+2+2=\varphi (1)+\varphi (2)+\varphi (3)+\varphi (6)$

Pode-se verificar que essas duas propriedades são válidas em geral:

• $\varphi (m)$ é igual à quantidade de frações próprias não negativas com denominador que estão na forma irredutível.

• $m=\sum _{d|m}\varphi (d)$

Equações lineares

Uma questão muito natural é investigar em que casos há alguma solução para equações lineares do tipo

$ax\equiv y(\mathrm{mod}m)$

Exemplo de equação linear com apenas uma solução

Considere em ${\mathbb{Z}}_8$ a seguinte equação:

$3x=2$

ou, em termos de congruências,

$3x\equiv 2(\mathrm{mod}8)$

Sabendo que $mdc(3,8)=1$, é possível determinar $r,s$ tais que

$3r+8s=1$

Por exemplo, pode-se tomar $r=-5$ e $s=2$. Outra possibilidade é $r=3$ e $s=-1$. Neste caso, nota-se que:

$3\cdot 3+8\cdot (-1)\equiv 1(\mathrm{mod}8)$

ou seja,

$3\cdot 3+0\equiv 1(\mathrm{mod}8)$

significando que $3=3^{-1}$ em ${\mathbb{Z}}_8$, ou seja, que neste anel o inverso multiplicativo de $3$ é ele mesmo. Sabendo disso, é possível resolver

$3x\equiv 2(\mathrm{mod}8)$

de forma análoga à utilizada em $\mathbb{Z}$: Multiplicando-se ambos os membros pelo inverso de $3$, segue:

$3\cdot 3x\equiv 3\cdot 2(\mathrm{mod}8)$

ou seja,

$1\cdot x\equiv 6(\mathrm{mod}8)$

Conclui-se então que, nesse exemplo, há uma somente uma solução em ${\mathbb{Z}}_8$ para a equação dada. Observe ainda que o número $y=2$ não teve qualquer influência no número de soluções para o problema. Isso pode ser percebido considerando para cada $x\in {\mathbb{Z}}_8$ o resultado de sua multiplicação por $a=3$:

	0	1	2	3	4	5	6	7
$\times 3$	0	3	6	1	4	7	2	5

Note que se tem uma permutação dos elementos de ${\mathbb{Z}}_8$ e que, portanto, o único elemento que é levado em $2$ ao ser multiplicado por $3$ é o $6$. Essa unicidade permaneceria se o $2$ fosse trocado por qualquer outro elemento.

Exemplo de equação linear sem solução

Considere a seguinte equação em ${\mathbb{Z}}_8$:

$4x=5$

que em termos de congruências se escreve como

$4x\equiv 5(\mathrm{mod}8)$

Já foi mostrado que ela é equivalente à seguinte equação em $\mathbb{Z}$:

$4x=5+8k$

ou seja,

$4(x-2k)=5$

É claro que tal equação não admite sequer uma solução inteira, uma vez que à esquerda tem-se um número par e a direita um ímpar, ou para ser mais exato, pois $4=\mathrm{m}\mathrm{d}\mathrm{c}(4,8)\nmid 5$.

Exemplo de equação linear com duas soluções

Como um último exemplo antes de conhecer o teorema que dá uma resposta definitiva sobre o número de soluções de uma equação linear em ${\mathbb{Z}}_m$, considere em ${\mathbb{Z}}_8$ a equação:

$2x=6$

ou seja,

$2x\equiv 6(\mathrm{mod}8)$

O problema de encontrar soluções para esta equação é equivalente a encontrar inteiros $x,y$ tais que:

$2x=6+8y$

Dividindo ambos os membros por dois, obtem-se

$\frac{2}{2}x=\frac{6}{2}+\frac{8}{2}y$

ou seja,

$x=3+4y$

Em termos de congruências, segue:

$x\equiv 3(\mathrm{mod}4)$

Os números inteiros que verificam essa congruência são os termos da progressão aritmética:

$\{\dots ,-5,-1,3,7,11,15,19,\dots \}$

No entanto, como as soluções são buscadas em ${\mathbb{Z}}_8$, devemos considerar os números acima módulo $8$:

$\{\dots ,3,7,3,7,3,7,3,\dots \}$

ou seja, o conjunto das soluções é:

$S=\{3,7\}$

Em suma, verificou-se através dos exemplos anteriores que é possível encontrar em ${\mathbb{Z}}_8$ equações do tipo $ax=y$ que possuam uma ou duas soluções, e mesmo equações que não adimitem solução. Essa é uma notavel diferença entre corpos (como $ℝ$, $\mathbb{Q}$ e ${\mathbb{Z}}_p$) e anéis. Por exemplo, em $\mathbb{Q}$ ou $ℝ$ você deve estar habituado a resolver $ax=y$, simplesmente dividindo os dois membros por $a$ (e talvez descrevendo esse procedimento como "passar o $a$ para o lado direito, dividindo..."). No entanto, é tempo de notar que isso só é possível quando $a$ possui inverso. Em $\mathbb{Q}$, todo número não nulo possui inverso. Mas isso não é verdade em todo anel! Por essa razão torna-se necessário tomar algum cuidado ao resolver equações nos aneis ${\mathbb{Z}}_m$. Fique atento!

Exercícios

1. Mostre que, se $x\equiv y(\mathrm{mod}m)$ e $f$ é um polinômio com coeficientes inteiros, então $f(x)\equiv f(y)(\mathrm{mod}m)$.
2. Que propriedade aritmética do número inteiro $m$ corresponde a existência de elementos nilpotentes em ${\mathbb{Z}}_m$? (Lembre-se, um elemento é nilpotente quando alguma de suas potências inteiras é igual a zero)