Otimização/Uso da matriz hessiana para caracterizar pontos críticos

Dada a função $f(𝐱)=f({x_1}^{*},{x_2}^{*},{x_3}^{*},...,x_n^{*})$, a condição necessária para que um determinado ponto $({x_1}^{*},{x_2}^{*},{x_3}^{*}...,x_n^{*})$ seja um ponto crítico é que todas as derivadas parciais, calculadas naquele ponto específico, sejam iguais a zero. No entanto, para definir se este ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou de sela, é preciso calcular o determinante da matriz hessiana e seus menores principais. Para isso, pode-se seguir os seguintes passos:

Passo 1

Calcular as "n" derivadas de primeira ordem da função f. O resultado serão "n" funções das variáveis do vetor nX1 $(𝐱)$.

Passo 2

Igualar cada uma das "n" funções do passo 1 a zero. Com isso, serão descobertos valores para cada uma das variáveis $x_1,x_2,x_3,...,x_n$. Chamaremos estes valores, cujas coordenadas compõem o ponto crítico, de $({x_1}^{*},{x_2}^{*},{x_3}^{*},...,x_n^{*})$. Igualmente, o vetor nX1 destes valores (números) será chamado de ${𝐱}^{\mathbf{*}}=\left[\begin{array}{c}{x_1}^{*}\\ x_2\\ {x_3}^{*}\\ ⋮\\ x_n^{*}\end{array}\right]$. Reservar este ponto crítico.

Passo 3

A partir das derivadas de primeira ordem calculadas no item 1, calcular as derivadas de segunda ordem da função f e montar a matriz hessiana nXn. Notar que é possível que muitos elementos desta matriz sejam função das variáveis $(x_1,x_2,...,x_n)$.

Passo 4

Substitua as variáveis $(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$, presentes na matriz hessiana montada no item 3, pelos valores correspondentes do ponto crítico, ou seja, pelos valores do vetor ${𝐱}^{\mathbf{*}}$. A matriz resultante não terá mais variáveis, somente números. Por exemplo, a derivada da função f em relação à variável $x_2$, por sua vez derivada em relação à variável $x_1$, calculada para o vetor $({𝐱}^{\mathbf{*}})$, será representado por $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})$ e significa um número.

Passo 5

A partir da matriz resultante do item 4, calcular os menores principais. Os resultados serão números.

• $\left|H_1\right|=|\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_1}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})|$,

• $\left|H_2\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_1}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_2}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})\end{array}\right|$

• $\left|H_3\right|=\left|\begin{array}{ccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_1}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_3}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_2}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_3}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_3}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})\end{array}\right|$

• ...

• $\left|H_n\right|=\left|\begin{array}{ccccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_1}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_3}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_2}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_3}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial {x_3}^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_3\partial x_n}({𝐱}^{\mathbf{*}})\\ \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_1}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_2}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n\partial x_3}({𝐱}^{\mathbf{*}})& \cdots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}({𝐱}^{\mathbf{*}})\end{array}\right|=\left|H_n\right|$=determinante da matriz hessiana calculada no item 4.

Passo 6

Verificar o sinal dos menores principais do item 5:

Se e somente se...	...o que é a mesma coisa que dizer que...	...podemos concluir que...
$\left|H_1\right|>0,\left|H_2\right|>0,\left|H_3\right|>0,....$	A matriz H calculada no item 4 é positiva definida	ponto crítico $({x_1}^{*},{x_2}^{*},{x_3}^{*},...,x_n^{*})$, calculado no item 2, é ponto de mínimo.
$\left|H_1\right|<0,\left|H_2\right|<0,\left|H_3\right|<0,....$	A matriz H calculada no item 4 é negativa definida	ponto crítico $({x_1}^{*},{x_2}^{*},{x_3}^{*},...,x_n^{*})$, calculado no item 2, é ponto de máximo.

Referências

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