Otimização/Funções convexas

Convexidade da soma de funções convexas

Sejam $D \subset ℝ^{n}$ um conjunto convexo e $f_{i} : D \to ℝ, i = 1, . . ., p,$ funções convexas em D. $\forall μ_{i} \in ℝ_{+}, i = 1, . . ., p,$

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sum_{i = 1}^{p} μ_{i} f_{i} (x)$ é convexa em D

Corolário de convexidade do supremo de funções convexas

Sejam $D \subset ℝ^{n}$ um conjunto convexo e $f_{i} : D \to ℝ, i \in I_{p},$ funções convexas em D. $\forall β \in ℝ, f_{i} (x) \leq β, \forall x \in D \land i \in I_{n}$

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sup_{i \in I_{n}} f_{i} (x)$ é convexa em D

Corolário: Função composta de duas convexas é convexa

Sejam $g : ℝ^{n} \to ℝ$ uma função convexa e $ψ : ℝ \to ℝ$ um função convexa e nãodecrescente.

Mostrar que $f (x) = ψ (g (x))$ é convexa

Corolário: Convexidade de conjunto de nível de funções convexas

Suponhamos que o conjunto $D \subset ℝ^{n}$ seja convexo e a função $f : D \to ℝ$ seja convexa em D.

Mostrar que $L_{f, D} (c)$ é convexo para todo $c \in ℝ$

Uma função é convexa se os vetores coordenadas são funções convexas

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Otimização/Funções convexas

Índice

Convexidade da soma de funções convexas

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sum_{i = 1}^{p} μ_{i} f_{i} (x)$ é convexa em D

Corolário de convexidade do supremo de funções convexas

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sup_{i \in I_{n}} f_{i} (x)$ é convexa em D

Corolário: Função composta de duas convexas é convexa

Mostrar que $f (x) = ψ (g (x))$ é convexa

Corolário: Convexidade de conjunto de nível de funções convexas

Mostrar que $L_{f, D} (c)$ é convexo para todo $c \in ℝ$

Uma função é convexa se os vetores coordenadas são funções convexas

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Otimização/Funções convexas

Convexidade da soma de funções convexas

Mostrar que a função f:D→ℝ,f(x)=∑i=1pμifi(x) é convexa em D

Corolário de convexidade do supremo de funções convexas

Mostrar que a função f:D→ℝ,f(x)=supi∈Infi(x) é convexa em D

Corolário: Função composta de duas convexas é convexa

Mostrar que f(x)=ψ(g(x)) é convexa

Corolário: Convexidade de conjunto de nível de funções convexas

Mostrar que Lf,D(c) é convexo para todo c∈ℝ

Uma função é convexa se os vetores coordenadas são funções convexas

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Pesquisa

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sum_{i = 1}^{p} μ_{i} f_{i} (x)$ é convexa em D

Mostrar que a função $f : D \to ℝ, f (x) = \sup_{i \in I_{n}} f_{i} (x)$ é convexa em D

Mostrar que $f (x) = ψ (g (x))$ é convexa

Mostrar que $L_{f, D} (c)$ é convexo para todo $c \in ℝ$