Medida e integração/Mensurabilidade

Introdução

Nos cursos básicos de Predefinição:Busca, aprende-se que a Predefinição:Busca está intimamente relacionada com a noção de área que se conhece desde o Predefinição:W. A teoria da integração tem em suas raízes os trabalhos de matemáticos gregos como Predefinição:W e Predefinição:W, que viveram Predefinição:W. Naqueles tempos, eles já eram capazes de calcular áreas e volumes por meio do Predefinição:W, no qual se decompunha um todo em infinitas partes cuja área ou Predefinição:W fossem quantidades conhecidas.

O maior avanço em relação a integração veio somente no Predefinição:W, com a descoberta do Predefinição:Busca, feita independentemente por Predefinição:W e Predefinição:W. No entanto, mesmo nesta época a teoria da integração carecia de uma formulação rigorosa. Foi Predefinição:W quem, no Predefinição:W, trouxe uma Predefinição:Busca através do uso de Predefinição:Busca. Hoje em dia, os cursos de cálculo trazem tradicionalmente as ideias e propriedades mais relevantes da Predefinição:W.

Apesar de sua popularidade, a teoria de integração desenvolvida por Predefinição:W tem algumas deficiências que se tornam evidentes quando se precisa estudar Predefinição:Busca integráveis ou mesmo séries de tais funções. O exemplo notável surge ao considerar uma sequência $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ de funções integráveis à Riemann que em cada ponto $x$ converge para um valor $f(x).$ Geralmente, quando se tem uma sequência convergente (no caso, $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}})$ e uma operação sendo feita sobre cada um de seus termos (no caso o cálculo da integral de Riemann), é importante poder "comutar o limite e a operação". No exemplo citado, seria interessante que valesse a seguinte igualdade:

$\lim \int f_n=\int \lim f_n.$

Usando-se a integral de Riemann, para se ter garantia desta propriedade é preciso exigir muito mais do que a convergência pontual: Se a sequência for uniformemente convergente, pode-se comutar o símbolo da integral com o do limite.

Henri Lebesgue, em 1902 desenvolveu em sua dissertação uma teoria de integração mais elegante, preenchendo as grandes lacunas na teoria de integração de Riemann. Devido a importância daquele trabalho, a teoria é hoje chamada de Integração de Lebesgue.

O conceito de mensurabilidade

Quando se estuda Predefinição:Busca, um conceito que está sempre presente é o de Predefinição:Busca. As funções contínuas tem várias propriedades interessantes e são fundamentais no estudo de Predefinição:Busca. Em contrapartida, no desenvolvimento da teoria de integração, certo tipo de funções, as chamadas funções mensuráveis, também têm grande importância. Estas funções possuem algumas características em comum com as funções contínuas, e isto ficará evidente conforme forem deduzidas algumas de suas propriedades.

Ao se definir o que são funções contínuas, é levada em consideração a forma como estas funções se comportam em relação a certos subconjuntos de seu Predefinição:W e seu Predefinição:W. Para ser mais exato, se diz que uma função é contínua quando a pré-imagem (ou Predefinição:W) de qualquer Predefinição:Busca do seu contradomínio é um conjunto aberto do seu domínio. De forma análoga, definem-se as funções mensuráveis considerando o comportamento destas funções em relação a conjuntos abertos do contradomínio e um outro tipo de subconjuntos do seu domínio: os conjuntos mensuráveis.

Apesar de ainda não ter sido dito o que é uma medida, esta é uma ideia que aparece em contextos bastante simples, como é o caso dos Predefinição:W da Predefinição:W. Intuitivamente, pode-se dizer que o comprimento do intervalo $(a,b)$ é igual a $|b-a|,$ ou ainda, a distância de $a$ até $b.$ Os intervalos são exemplos típicos de algo que se gostaria de poder "medir". Seria igualmente interessante poder medir as Predefinição:W de intervalos, e também ser capaz de fornecer a medida da Predefinição:W $(a,b)\setminus (c,d)$ entre dois intervalos. Propriedades como estas servem de motivação para se definir as $\sigma$-álgebras de conjuntos e em sequência a noção de mensurabilidade.

Observações

• Predefinição:Observação
• Predefinição:ÂncoraPredefinição:Observação
• Predefinição:ÂncoraPredefinição:Observação
• Predefinição:ÂncoraPredefinição:Observação
• Predefinição:Observação

Como se poderia imaginar a partir dos comentários que precederam a definição definição de $\sigma$-álgebra, os conjuntos mensuráveis serão aqueles que verificam as propriedades acima. De forma mais precisa:

• Predefinição:ÂncoraPredefinição:Observação

Finalmente, uma vez caracterizados os conjuntos mensuráveis, a noção de mensurabilidade pode ser definida também para Predefinição:Busca:

O próximo resultado mostra uma forma de se obter funções mensuráveis quando já se conhece uma função mensurável e uma Predefinição:Busca: basta realizar sua composição, aplicando primeiro a função mensurável e por último a função contínua.

Um resultado análogo ao anterior, que pode ser aplicado quando se tem uma função contínua Predefinição:Busca (ou Predefinição:Busca), é mostrado a seguir.

Como consequência imediata desta proposição, tem-se o seguinte: Predefinição:Corolário Predefinição:Demonstração

Um outro resultado imediato que trata especificamente da mensurabilidade de funções de uma variável complexa é o seguinte: Predefinição:Corolário Predefinição:Demonstração

Além do que já foi mostrado até o momento, no conjunto das funções mensuráveis que tomam valores em um corpo também verifica uma propriedade muito frequente em matemática: o fechamento em relação a soma e o produto. Uma consequência disto é que um polinômio em funções mensuráveis continua sendo mensurável e, em particular, a multiplicação de uma função mensurável por uma constante (ou se preferir, um escalar) também é mensurável. O resultado que garante estas propriedades é apresentado a seguir.

• Predefinição:ÂncoraPredefinição:Observação

O próximo resultado mostra que um conjunto é mensurável se, e somente se, a sua função característica for mensurável (se vista como uma função que toma valores em $ℝ).$ Por simplicidade, a função $\overline{X_E}:X\mapsto ℝ$ definida por $\overline{X_E}(x)=X_E(x)$ em cada elemento de $X$ também será denotada pelo símbolo $X_E,$ ficando implícito que o contradomínio é o conjunto dos números reais ao se falar sobre a sua mensurabilidade. Além disso, como já foi dito, se não for feita indicação em contrário será considerada a topologia usual de $ℝ.$

A seguir, é demonstrado um a interseção de uma família de $\sigma$-álgebras é ainda uma $\sigma$-álgebra.

Referências

Predefinição:AutoCat