Medida e integração/Integração de funções positivas

Ao longo deste capítulo estará fixado um [[../Medida#defi:esp-com-medida|espaço com medida]] $(X,𝔐,\mu ).$

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Exercício

Justifique a afirmação feita na Observação 5.3.

Pelo [[../Funções simples e a topologia da reta estendida#teo:exist-seq-simples|Teorema 3.4]], toda função $f:X\mapsto {\overline{ℝ}}_{+}$ pode ser aproximada por uma sequência não-decrescente de funções simples. Isto motiva a próxima definição, na qual é apresentada a noção de integral para um certo tipo de funções que não são simples.

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Exercício

Justifique a afirmação feita na Observação 5.5.

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A essência do segundo item deste corolário é que a integral também serve para "medir conjuntos". Na verdade, isto continua válido mesmo que a função que está sendo integrada não seja $X_E:$ Conforme a próxima proposição, a integração de uma função simples sobre conjuntos que pertencem a uma $\sigma$-álgebra define uma medida.

Outra propriedade que se poderia esperar da integração de funções simples é a somatividade:

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O próximo resultado é conhecido como Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue e, além de ser um resultado importante sobre convergência, é um dos teoremas centrais de toda a teoria de Lebesgue.

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Um resultado análogo sobre a integração de séries é apresentado no teorema seguir.

O resultado técnico apresentado a seguir, conhecido como Lema de Fatou, se mostrará extremamente importante e útil.

O próximo resultado é uma generalização da Proposição 5.14.

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Referências

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