Medida e integração/Funções simples e a topologia da reta estendida

Em linhas gerais, uma função simples é uma função que assume uma quantidade finita de valores. No contexto da teoria abordada neste livro, a definição de função simples incluirá algumas restrições adicionais, de modo que este nome possa ser usado apenas para se referir ao tipo de específico de função simples que é relevante para a integração.

Exemplo

A função $f:{ℝ}^{*}\mapsto {ℝ}_{+}$ definida por $f(x)=\frac{x}{|x|}$ é uma função simples. De fato, tem-se

$f(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{se }x<0\\ 1,& \text{se }x>0\end{array}$

Isto significa que $f\left({ℝ}^{*}\right)=\{-1,1\},$ que é finito. Observe ainda que $f(x)=-X_{(-\mathrm{\infty },0)}+X_{(0,+\mathrm{\infty })}.$

Em geral, se $Im(\sigma )=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}$ e se definem os conjuntos $A_i={\sigma }^{-1}({\alpha }_i),$ para cada $i$ de $1$ a $n,$ resulta que $\sigma =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{X}_{A_i}.$ Note que $(A_i{)}_{1\le i\le n}$ é uma partição finita de $X.$

Por outro lado, sempre que se tem uma partição $(A_i{)}_{1\le i\le n}$ finita de $X$ e uma sequência finita $({\alpha }_i{)}_{1\le i\le n}$ de elementos em ${ℝ}_{+},$ de modo que ${\alpha }_i={\alpha }_j$ quando $i=j,$ a equação $\sigma =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{X}_{A_i}$ define uma função simples. É comum se referir ao segundo membro daquela equação como sendo a representação canônica de $\sigma .$

Com relação as sequências cujos termos estão em ${\overline{ℝ}}_{+},$ tem-se a seguinte propriedade: Se $(a_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ e $(b_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ são sequências não decrescentes em ${\overline{ℝ}}_{+},$ ou seja, $0\le a_i\le a_{i+1}\le \mathrm{\infty }$ e $0\le b_i\le b_{i+1}\le \mathrm{\infty }$ para todo $i\in \mathbb{N},$ e existem os limites $a=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_i$ e $b=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_i,$ então $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_i{b}_i=ab$

Esta propriedade, juntamente com a [[../A reta real estendida#prop:lim-inf-sup-mens|Proposição 2.39]] e o [[../Funções simples e a topologia da reta estendida#teo:exist-seq-simples|Teorema 3.4]], implicam que se