Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E3

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Enunciado

Um sistema hidráulico opera a uma pressão de 20M Pa e a uma temperatura de 55 °C, usando óleo SAE 10W. O sistema empurra um pistão de 25 mm de diâmetro e 15 mm de comprimento, que corre ajustado a um cilindro, com um espaço de 0.005 mm entre as paredes de ambos. Sabendo que a pressão manométrica no ponto de saída é igual a 1M Pa, calcule a vazão de óleo entre o cilindro e o pistão.

Dados do problema

h0	0.005 mm
T	55°
P1	20M Pa
P2	1M Pa
L	15 mm
D	25 mm
Φ	A calcular

Outras informações:

Viscosidade do óleo (μ) - 0.018 kg·m^-1·s^-1

Densidade do óleo (ρ) - 920 kg/m³

Solução

Como h₀ << D, podemos modelar as paredes como duas placas paralelas de comprimento πD, evitando a necessidade de usar coordenadas cilíndricas. A queda de pressão entre as faces do pistão será

$\frac{\mathrm{\Delta }p}{L}=\frac{\partial p}{\partial x}=\frac{P_2-P_1}{L}$

Primeiramente, para saber se o escoamento é laminar, é preciso examinar o número de Reynolds:

$N_{Re}=\frac{\rho \overline{v}{h}_0}{{\mu }_0}$

Aqui usaremos a velocidade média do fluido e a distância entre as placas para tipificar a situação. Assim, usando a expressão vista anteriormente:

$N_{Re}=\frac{\rho h_0^3}{12{\mu }_0}\cdot \frac{P_1-P_2}{L}=\frac{920kg/m^3\cdot (0.005mm{)}^3}{12\cdot 0.018kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}\cdot \frac{20MPa-1.0MPa}{15mm}=0.0067$

Como o valor é muito menor que o limite (1400), o escoamento é certamente laminar. A vazão, então, será

$\mathrm{\Phi }=-\frac{W{h}_0^3}{12{\mu }_0}\frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\pi D{h}_0^3}{12{\mu }_0}\frac{P_2-P_1}{L}$

$=\frac{3.1\cdot 25mm\cdot (0.005mm{)}^3}{12\cdot 0.018kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}\cdot \frac{20MPa-1.0MPa}{15mm}=57\times 10^{-9}{m}^3/s=57m{m}^3/s$