Mecânica dos fluidos/Equações básicas para o líquido ideal

Um líquido ideal é um fluido incompressível e invíscido (ou seja, sua viscosidade é nula). Muitos líquidos de interesse têm um comportamento que pode ser razoavelmente aproximado pelo líquido ideal. As equações básicas apresentam uma forma muito simplificada quando comparadas às equações gerais.

Portanto, para um líquido ideal, teremos

$\rho =constante\mu =0$

Vamos aplicar essa simplificação às equações básicas em suas diversas formas (para sistemas, integral e diferencial) e obter as equações resultantes. É importante que, como estamos tratando de líquidos, adotaremos a convenção de fazer o eixo Z apontar para baixo, e não para cima. Dessa maneira, o eixo X aponta para a direita e o eixo Y aponta para o observador.

Equações básicas em forma diferencial

Equação de continuidade

A equação de continuidade em forma diferencial

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+(\mathrm{\nabla }\cdot (\rho \overrightarrow{v}))=0$

quando aplicada a um líquido ideal, simplifica-se para

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{v}=0$

Equações de Euler

Conforme visto anteriormente, as equações de Navier-Stokes

$(\frac{\partial }{\partial x}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_x}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial z}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial z}+\mu \frac{\partial v_z}{\partial x}))=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$(\frac{\partial }{\partial y}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_y}{\partial y})+\frac{\partial }{\partial x}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial z}(\mu \frac{\partial v_z}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial z}))=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_y}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_y}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_y}{\partial t})$

$(\frac{\partial }{\partial z}(-p-\frac{2}{3}\mu (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z})+2\mu \frac{\partial v_z}{\partial z})+\frac{\partial }{\partial x}(\mu \frac{\partial v_x}{\partial z}+\mu \frac{\partial v_z}{\partial x})+\frac{\partial }{\partial y}(\mu \frac{\partial v_z}{\partial y}+\mu \frac{\partial v_y}{\partial z}))+\rho g=$

$=\rho (v_x\frac{\partial v_z}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_z}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial t})$

derivadas do princípio de conservação do momento linear, descrevem a dinâmica de um volume diferencial de fluido, juntamente com a equação de continuidade, mas são extremamente difíceis de resolver. No caso de um líquido ideal, as equações acima se reduzem a

$-\frac{\partial p}{\partial x}=\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$-\frac{\partial p}{\partial y}=\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

$-\frac{\partial p}{\partial z}+\rho g=\rho (v_x\frac{\partial v_x}{\partial x}+v_y\frac{\partial v_x}{\partial y}+v_z\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_x}{\partial t})$

Que podem ser escritas também na forma mais concisa

$\rho \overrightarrow{g}-\mathrm{\nabla }p=\rho \frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}$

Essas equações são chamadas de equações de Euler.

Equações de Euler em coordenadas cilíndricas

As equações de Euler em coordenadas cilíndricas podem ser obtidas a partir da forma concisa, substituindo-se a definição da derivada direcional nesse sistema

$\rho \overrightarrow{g}-\mathrm{\nabla }p=\rho \frac{D\overrightarrow{v}}{Dt}=\rho (\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v})$

$\rho g_r-\frac{\partial p}{\partial r}=\rho (\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta }+v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}-\frac{v_{\theta }^2}{r})$

$\rho g_{\theta }-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }=\rho (\frac{\partial v_{\theta }}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_{\theta }}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }+v_z\frac{\partial v_{\theta }}{\partial z}+\frac{v_r{v}_{\theta }}{r})$

$\rho g_z-\frac{\partial p}{\partial z}=\rho (\frac{\partial v_z}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_z}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta }+v_z\frac{\partial v_z}{\partial z})$

Equações de Euler em coordenadas esféricas

As equações de Euler em coordenadas esféricas podem ser obtidas da mesma forma:

$\rho \overrightarrow{g}-\mathrm{\nabla }p=\rho (\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{\nabla }\overrightarrow{v})$

$\rho g_r-\frac{\partial p}{\partial r}=\rho (\frac{\partial v_r}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_r}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta }+\frac{v_{\varphi }}{r\sin (\theta )}\frac{\partial v_r}{\partial \varphi }-\frac{v_{\varphi }^2+v_{\theta }^2}{r})$

$\rho g_{\theta }-\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta }=\rho (\frac{\partial v_{\theta }}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_{\theta }}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \theta }+\frac{v_{\varphi }}{r\sin (\theta )}\frac{\partial v_{\theta }}{\partial \varphi }+\frac{v_r{v}_{\theta }-v_{\varphi }^2\cot (\theta )}{r})$

$\rho g_{\varphi }-\frac{1}{r\sin (\theta )}\frac{\partial p}{\partial \varphi }=\rho (\frac{\partial v_{\varphi }}{\partial t}+v_r\frac{\partial v_{\varphi }}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial v_{\varphi }}{\partial \theta }+\frac{v_{\varphi }}{r\sin (\theta )}\frac{\partial v_{\varphi }}{\partial \varphi }+\frac{v_r{v}_{\varphi }+v_{\varphi }{v}_{\theta }\cot (\theta )}{r})$

Equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente

As equações de Euler em coordenadas de linhas de corrente podem ser obtidas a partir da forma concisa tomando-se um elemento de volume infinitesimal δV e aplicando-se o princípio de conservação do momento linear na direção do fluxo, após considerar ρ constante e μ = 0. Seja o fluxo normal ao eixo Y e Θ, o ângulo que a linha de corrente faz com a horizontal nesse ponto. A pressão p_l- na face posterior do volume será

$p_{l-}=p-\frac{\delta p_l}{2}=p-\frac{\frac{\partial p}{\partial l}\delta l}{2}$

onde p é a pressão no centro do volume. A pressão na face anterior do volume, similarmente, será

$p_{l+}=p+\frac{\delta p_l}{2}=p+\frac{\frac{\partial p}{\partial l}\delta l}{2}$

e a diferença entre as pressões será, evidentemente

$\mathrm{\Delta }{p}_l=p_{l+}-p_{l-}=\frac{\partial p}{\partial l}\delta l$

pressão esta cujo sentido é contrário ao fluxo. O peso do volume terá uma componente na direção do fluxo igual a δm · g · sen Θ, também no sentido contrário a ele. Assim, podemos escrever

$-\delta mg\sin \theta -\frac{\partial p}{\partial l}\delta ld{A}_l=\delta m{a}_l$

onde A_l é a área transversal ao fluxo e a_l é a aceleração do volume. Desenvolvendo, teremos

$-\rho dldndyg\frac{\partial z}{\partial l}-\frac{\partial p}{\partial l}\delta ldndy=\rho dldndy{a}_l\Rightarrow \rho a_l=-\frac{\partial p}{\partial l}-\rho g\frac{\partial z}{\partial l}$

Mas, sobre uma linha de corrente

$a_l=\frac{Dv}{Dt}=\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial l}$

Assim

$\rho (\frac{\partial v}{\partial t}+v\frac{\partial v}{\partial l})=-\frac{\partial p}{\partial l}-\rho g\frac{\partial z}{\partial l}$

No caso de fluxo em regime permanente

$\rho v\frac{\partial v}{\partial l}=-\frac{\partial p}{\partial l}-\rho g\frac{\partial z}{\partial l}$

Procedendo de forma similar para a componente normal à linha de corrente

$\mathrm{\Delta }{p}_n=p_{n+}-p_{n-}=\frac{\partial p}{\partial n}\delta n$

$-\delta mg\cos \theta -\frac{\partial p}{\partial n}\delta nd{A}_n=\delta m{a}_n$

Desenvolvendo, teremos

$-\rho dldndyg\frac{\partial z}{\partial n}-\frac{\partial p}{\partial n}\delta ndldy=\rho dldndy{a}_n\Rightarrow \rho a_n=-\frac{\partial p}{\partial n}-\rho g\frac{\partial z}{\partial n}$

Mas a aceleração na direção normal à linha de corrente é a aceleração centrípeta

$a_n=-\frac{v^2}{r}$

onde r é o raio de curvatura da linha de corrente no ponto considerado. O sinal negativo indica que o elemento de volume está sendo acelerado para dentro da curva. Assim

$\rho \frac{v^2}{r}=\frac{\partial p}{\partial n}+\rho g\frac{\partial z}{\partial n}$

Em regiões onde as linhas de corrente são linhas retas, r = ∞, o que implica em a_n = 0. Nessas regiões, não há variação de presssão entre as linhas de corrente, pois $\frac{\partial p}{\partial n}=0$.

Exercícios resolvidos

• D1
• D2

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