Mecânica dos fluidos/Grupos adimensionais

Grupos adimensionais e modelos

Ao escrever as equações descritivas dos fenômenos em forma adimensional, aparecem coeficientes em alguns termos, coeficientes esses que são sempre adimensionais. Por exemplo, na equação de Navier-Stokes para um líquido Newtoniano:

$v_x^{*}\frac{\partial v_z*}{\partial x^{*}}+v_z^{*}\frac{\partial v_z^{*}}{\partial z^{*}}=-\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}-\frac{\partial p^{*}}{\partial z^{*}}+\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}(\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (x^{*}{)}^2}+\frac{{\partial }^2{v}_z^{*}}{\partial (z^{*}{)}^2})$

aparece o coeficiente $\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}$. A teoria matemática das equações diferenciais mostra que a solução de uma equação depende fortemente do valor relativo dos diversos coeficientes; uma pequena mudança no valor de um coeficiente pode fazer com que a forma da solução mude radicalmente. Como muitas vezes é preciso buscar uma solução aproximada, a análise dos coeficientes é importante porque permite saber se um termo pode ou não ser desprezado numa determinada situação. No exemplo mencionado, o coeficiente $\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}$ mostrará em que condição os efeitos gravitacionais precisam ser levados em conta.

Se estivermos usando um protótipo, a similitude será obtida quando os coeficientes tiverem os mesmos valores do caso original. Assim, uma equação rigorosamente idêntica governa ambos os casos, e o protótipo pode ser considerado um modelo fiel do original.

O coeficiente $\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}$ aparece também em outras equações importantes. Isso acontece com diversos outros coeficientes. Em vista disso, os mais comuns receberam nomes especiais.

Número de Froude

Em particular, o coeficiente $\frac{g{L}_r}{v_{\mathrm{\infty }}^2}$, citado acima, está relacionado ao número de Froude:

$N_{Fr}=\frac{v_r}{\sqrt{g{L}_r}}$

Ficheiro:Hydraulic jump on Naramatagawa River's stream.ogv

Esse grupo adimensional aparece em equações que descrevem fluxos em que efeitos de superfícies livres são relevantes; por exemplo, ao estudar-se a formação de ondas na superfície de um fluxo. Neste caso, o comprimento de referência L_r é a profundidade do fluido no canal. Estudos de resistência hidrodinâmica de barcos também utilizam o número de Froude; nestes casos, o comprimento de referência é o comprimento do barco na linha d'água.

É fácil ver que o número de Froude é a razão entre as forças de inércia e as forças gravitacionais

$N_{Fr}^2=\frac{v_r^2}{g{L}_r}=\frac{\rho L_r^2{v}_r^2}{\rho L_r^{2}g{L}_r}=\frac{\rho L_r^4{\left(\frac{v_r}{L_r}\right)}^2}{\rho g{L}_r^3}=\frac{\rho L_r^3{L}_r{\omega }_r^2}{\rho g{V}_r}=\frac{m{\omega }_r^2{L}_r}{mg}$

Pode-se também pensá-lo como a razão entre a velocidade do fluxo e a velocidade de propagação de uma onda no fluido. Nesse caso, o número de Froude aparece como análogo ao número de Mach. Um valor de N_Fr inferior à unidade indica fluxo subcrítico; um valor de N_Fr superior à unidade indica fluxo supercrítico. Fluxos supercríticos apresentam fenômenos únicos, como os ressaltos hidráulicos, por exemplo.

Número de Reynolds

O coeficiente $\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}$, que aparece na equação acima, pode ser desenvolvido

$\frac{{\mu }^{*}}{{\rho }^{*}}=\frac{\mu {\rho }_r}{{\mu }_{r}rho}=\frac{\mu }{\rho v_r{L}_r}$

e é o inverso do número de Reynolds:

$N_{Re}=\frac{\rho v_r{L}_r}{\mu }$

Esse grupo adimensional pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à inércia e as devidas à viscosidade. Fluxos com um número de Reynols alto, ou seja, fluxos onde a viscosidade exerce um efeito apreciável, são geralmente turbilhonários, não laminares.

Número de Euler

O grupo adimensional

$N_{Eu}=\frac{2\mathrm{\Delta }p}{\rho v_r^2}$

é chamado de número de Euler. Δp é, em geral, a diferença entre a pressão e a pressão na superfície do fluido. O número de Euler aparece em problemas de aerodinâmica envolvendo líquidos ideais (ou seja, fluidos incompressíveis e não viscosos), e pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à pressão e àquelas devidas à inércia do fluido. Esse adimensional também é conhecido como coeficiente de pressão.

Número de Weber

Ondas capilares aparecem na superfície de um líquido quando ela sofre uma perturbação (devida ao vento, por exemplo).

O grupo adimensional

$N_{We}=\frac{\rho v_r^2{L}_r}{\gamma }$

é conhecido como o número de Weber. Ele pode ser entendido como a razão entre as forças devidas à inércia e aquelas devidas à tensão superficial. O valor desse grupo adimensional indica a presença e a frequência das ondas capilares na superfície de um fluido.

Número de Mach

O grupo adimensional

$N_{Ma}=\frac{v}{v_r}$

é conhecido como o número de Mach. Ele é a razão entre a velocidade do fluxo e a velocidade do som no fluido. O valor desse grupo adimensional indica se o escoamento se processa a velocidades tão elevadas que os efeitos da compressibilidade do fluido devem ser levados em conta. O número de Mach também pode ser escrito nas formas seguintes

$N_{Ma}=\frac{v}{\sqrt{\frac{ϵ}{\rho }}}$

$N_{Ma}=\frac{v}{\sqrt{\frac{dp}{d\rho }}}$

onde ε é o módulo de elasticidade volumétrica do fluido. Um fluido incompressível teria N_Ma = 0, e a velocidade de propagação do som nele seria infinita.

Número de cavitação

O grupo adimensional

$N_{Ca}=\frac{2\mathrm{\Delta }p}{\rho v_r^2}=\frac{2(p-p_v)}{\rho v_r^2}$

idêntico em forma ao número de Euler, é chamado de número de cavitação quando Δp é a diferença entre a pressão e a pressão de vapor do fluido à temperatura do problema. Esse número é usado na análise da probabilidade de ocorrência de cavitação em uma determinada situação. Quanto menor o número de cavitação, maior essa probabilidade.

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