Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F6

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Enunciado

Uma bomba centrífuga, cuja eficiência é de 80%, possui rotor de diâmetro 20 cm e bombeia água a 1170 rpm e a uma vazão de 1500 litros por minuto. A velocidade específica da bomba é igual a 4.5.

1. Determine a vazão resultante quando ela funcionar a 1750 rpm;
2. Determine a elevação de carga obtida a 1170 e a 1750 rpm;
3. Determine a potência de alimentação necessária a 1170 e a 1750 rpm;

Dados do problema

	1	2
ω	1170 rpm	1750 rpm
Φ	1500 l/min	?
h	?	?
Pa	?	?

Dados adicionais:

Eficiência da bomba (η) = 80 %

Diâmetro do rotor (D) = 20 cm

Densidade da água (ρ) = 1000 kg/m³

Velocidade específica (ω_e) = 4.5

Solução

Pelas leis de bombas

$\frac{{\mathrm{\Phi }}_m}{{\omega }_m{D}_m^3}=\frac{{\mathrm{\Phi }}_o}{{\omega }_o{D}_o^3}\Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_2={\mathrm{\Phi }}_1\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}{\left(\frac{D_2}{D_1}\right)}^3={\mathrm{\Phi }}_1\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$

$=1500l/min\frac{1750rpm}{1170rpm}=2200l/min$

Da definição de velocidade específica

${\omega }_{e1}={\omega }_1\sqrt{\frac{{\mathrm{\Phi }}_1}{\sqrt{h_1^3}}}\Rightarrow h_1=\sqrt[3]{{\left(\frac{{\omega }_1\sqrt{{\mathrm{\Phi }}_1}}{{\omega }_{e1}}\right)}^4}$

$h_1=\sqrt[3]{{\left(\frac{1170rpm\sqrt{1500l/min}}{4.5}\right)}^4}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1170\cdot \frac{2\cdot 3.1}{60}rd/s\sqrt{1500\cdot \frac{0.001}{60}{m}^3/s}}{4.5}\right)}^4}=6.9m$

$h_2=\sqrt[3]{{\left(\frac{1750rpm\sqrt{2200l/min}}{4.5}\right)}^4}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1750\cdot \frac{2\cdot 3.1}{60}rd/s\sqrt{2200\cdot \frac{0.001}{60}{m}^3/s}}{4.5}\right)}^4}=15m$

A elevação de carga também poderia ter sido calculada por meio das leis de bombas

$\frac{h_o}{{\omega }_o^2{D}_o^2}=\frac{h_m}{{\omega }_m^2{D}_m^2}\Rightarrow h_2=h_1{\left(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}\right)}^2{\left(\frac{D_2}{D_1}\right)}^2=h_1{\left(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}\right)}^2$

$h_2=6.9m{\left(\frac{1750rpm}{1170rpm}\right)}^2=15m$

A potência mecânica entregue pela bomba é dada por

$P=\frac{\mathrm{\Delta }E}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{\Delta }(mgh)}{\mathrm{\Delta }t}=gh\frac{\mathrm{\Delta }m}{\mathrm{\Delta }t}=gh{\mathrm{\Phi }}_m=gh\rho \mathrm{\Phi }$

onde Φ_m é a vazão mássica do fluido. Assim

$P_{a1}=\frac{P_1}{{\eta }_1}=\frac{\rho g{h}_1{\mathrm{\Phi }}_1}{{\eta }_1}=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 6.9m\cdot 1500l/min}{0.8}$

$P_{a1}=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 6.9m\cdot 1500\cdot \frac{0.001}{60}{m}^3/s}{0.8}=2100W$

Novamente pelas leis de bombas

$\frac{P_m}{{\rho }_m{\omega }_m^3{D}_m^5}=\frac{P_o}{{\rho }_o{\omega }_o^3{D}_o^5}\Rightarrow P_2=P_1\frac{{\rho }_2{\omega }_2^3{D}_2^5}{{\rho }_1{\omega }_1^3{D}_1^5}$

$P_{a2}=\frac{P_2}{\eta }=\frac{{\rho }_{1}g{h}_1{\mathrm{\Phi }}_1}{\eta }{\left(\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}\right)}^3=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 6.9m\cdot 1500l/min}{0.8}{\left(\frac{1750rpm}{1170rpm}\right)}^3$

$=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 6.9m\cdot 1500\cdot \frac{0.001}{60}{m}^3/s}{0.8}{\left(\frac{1750rpm}{1170rpm}\right)}^3=7000W$

A potência também poderia ter sido calculada pela expressão alternativa

$P_2={\rho }_{2}g{h}_2{\mathrm{\Phi }}_2\Rightarrow P_{a2}=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 15m\cdot 2200l/min}{0.8}$

$=\frac{1000kg/m^3\cdot 9.8m/s^2\cdot 15m\cdot 2200\cdot \frac{0.001}{60}{m}^3/s}{0.8}=7000W$