Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/F3

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Enunciado

Repetir o problema anterior, desta vez para obter a queda de pressão Δp, em lugar da perda de carga h.

Dados do problema

As variáveis originais serão:

1. o diâmetro do tubo (D) - dimensão [L];
2. o comprimento do tubo (L) - dimensão [L];
3. a velocidade do fluxo (v) - dimensão [Lt^-1];
4. a viscosidade do fluido (μ) - dimensão [ML^-1t^-1];
5. a densidade do fluido (ρ) - dimensão [ML^-3];
6. a rugosidade (e) - dimensão [L];
7. a queda de pressão (Δp) - dimensão [ML^-1t^-2];

Solução

A escolha da queda de pressão, em lugar da perda de carga, faz sentido, pois ela pode ser diretamente medida, com um instrumento simples, como um manômetro diferencial.

As k = 3 dimensões envolvidas, como se vê, são novamente [M], [L] e [t].

Selecionemos novamente os 3 parâmetros ρ, v e D; de acordo com o teorema de Buckingham, Δp não deve ser utilizado. Além disso, também de acordo com o teorema, dois dos grupos adimensionais serão: a razão entre D e e e a razão entre D e L. Faltam, portanto, dois, e as equações dimensionais serão:

${\pi }_1={\rho }^a{v}^b{D}^c\mu {\pi }_2={\rho }^d{v}^e{D}^f\mathrm{\Delta }p$

Usando novamente o resultado obtido no exemplo já estudado anteriormente, podemos escrever

${\pi }_1=\frac{\mu }{\rho vD}$

bastando resolver a nova equação

$[M{]}^0[L{]}^0[t{]}^0=[M{L}^{-3}{]}^a[L{t}^{-1}{]}^b[L{]}^c[M{L}^{-1}{t}^{-2}]$

$(M)0=a+1\Rightarrow a=-1$

$(t)0=-b-2\Rightarrow b=-2$

$(L)0=-3a+b+c-1\Rightarrow c=0$

Assim

${\pi }_1=\frac{\mu }{\rho vD}{\pi }_2=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho v^2}{\pi }_3=\frac{D}{e}{\pi }_4=\frac{D}{L}$

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