Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/E17

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Enunciado

Calcular a vazão de saída de água de um reservatório com altura de 10 m, descarregando livremente na atmosfera, considerando

1. uma saída com embocadura de 15 cm de diâmetro;
2. que a embocadura seja em ângulo reto e seja instalado um difusor com aumento da abertura para 30 cm;
3. que a embocadura seja suave e seja instalado o mesmo difusor.

Calcular também a pressão na abertura e a velocidade de descarga na atmosfera, após a instalação do difusor. Considerar o valor do coeficiente de recuperação de pressão como 0.3 (um valor baixo).

Solução

Sem difusor

Independentemente do formato da embocadura,

$\mathrm{\Delta }h=\frac{1}{2g}\alpha {\overline{v}}^2\Rightarrow \overline{v}=\sqrt{\frac{2g\mathrm{\Delta }h}{\alpha }}$

Considerando α = 1,

$\overline{v}=\sqrt{\frac{2\cdot 9.8m/s^2\cdot 10m}{1}}=14m/s$

O Número de Reynolds será

$N_{Re}=\frac{\rho \overline{v}D}{\mu }=\frac{1000kg/m^3\cdot 14m/s\cdot 0.15m}{0.0010kg\cdot m^{-1}\cdot s^{-1}}=2100000$

o que faz com que a aproximação α = 1 seja bastante razoável. Assim, a vazão será

$\mathrm{\Phi }=\frac{\pi D^2}{4}\overline{v}=\frac{3.1\cdot (0.15m{)}^2}{4}\cdot 14m/s=0.24m^3/s$

Com difusor (embocadura em ângulo reto)

${\overline{v}}_1=\sqrt{\frac{\alpha }{N_{l1}+(1-\frac{A_1}{A_2}-N_c){\alpha }_1+{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2{\alpha }_2}}\cdot \overline{v}$

${\overline{v}}_1=\sqrt{\frac{\alpha }{N_{l1}+(1-{\left(\frac{D_1}{D_2}\right)}^2-N_c){\alpha }_1+{\left(\frac{D_1}{D_2}\right)}^4{\alpha }_2}}\cdot \overline{v}$

${\overline{v}}_1=\sqrt{\frac{1}{0.5+(1-{\left(\frac{15cm}{30cm}\right)}^2-0.3)+{\left(\frac{15cm}{30cm}\right)}^4}}\cdot 14m/s=14m/s$

O difusor foi ineficaz, devido à grande perda introduzida pela abertura em ângulo reto.

Com difusor (embocadura suave

${\overline{v}}_1=\sqrt{\frac{1}{0.04+(1-{\left(\frac{15cm}{30cm}\right)}^2-0.3)+{\left(\frac{15cm}{30cm}\right)}^4}}\cdot 14m/s=19m/s$

$\mathrm{\Phi }=\frac{\pi D^2}{4}\overline{v}=\frac{3.1\cdot (0.15m{)}^2}{4}\cdot 19m/s=0.33m^3/s$

A vazão aumentou em quase 30%. A pressão na abertura é calculada da seguinte maneira:

$N_c=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\rho \frac{{\overline{v}}_1^2}{2}}\Rightarrow \mathrm{\Delta }p=p_2-p_1=\frac{\rho N_c{\overline{v}}_1^2}{2}$

$0-p_1=\frac{\rho N_c{\overline{v}}_1^2}{2}\Rightarrow p_1=-\frac{1000kg/m^3\cdot 0.3\cdot (19m/s{)}^2}{2}=-53kPa$

A pressão na abertura cai bem abaixo da pressão atmosférica. Já a velocidade de saída será

${\overline{v}}_2=\frac{A_1}{A_2}{\overline{v}}_1={\left(\frac{D_1}{D_2}\right)}^2{\overline{v}}_1={\left(\frac{15cm}{30cm}\right)}^{2}19m/s=4.7m/s$

Uma queda muito grande. O exemplo mostra que, mesmo um difusor com um valor baixo de N_c pode ser bastante eficaz. Um difusor pode ter um N_c de 0.7 ou ainda maior.

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