Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C4

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Enunciado

Um foguete, cuja massa inicial é de 400 kg, é lançado verticalmente, consumindo combustível a uma taxa de 5 kg/s e ejetando gás a 3500 m/s. Calcule a aceleração em t = 0 e a velocidade em t = 10s. A resistência do ar pode ser desprezada.

Dados do problema

m0	400 kg
dm/dt	— 5 kg/s
vm	3500 m/s
a(0)	a calcular
vf(10)	a calcular

Solução

Tomemos o foguete como o volume de controle C e apliquemos a equação de conservação do momento, com a correção necessária devido ao fato de o referencial usado está acelerado em relação à Terra:

$\overrightarrow{F}=\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho {\overrightarrow{v}}_{m}dV+\underset{S}{\int }\rho {\overrightarrow{v}}_m({\overrightarrow{v}}_m\cdot d\overrightarrow{S})+\underset{C}{\int }\overrightarrow{a}\rho dV$

onde a é a aceleração do foguete com relação à Terra e v_m é a velocidade do fluido com relação ao foguete. A força externa aplicada resume-se ao peso do foguete; a velocidade v_m é constante e a aceleração a, uniforme sobre o corpo, por isso

$-mg{\overrightarrow{u}}_y=0-v_m\left(\underset{S}{\int }\rho v_{m}dS\right){\overrightarrow{u}}_y+a\left(\underset{C}{\int }\rho dV\right){\overrightarrow{u}}_y$

pois a velocidade do fluxo dirige-se para fora do volume e na direção negativa do eixo Y.

Mas, de acordo com a equação de continuidade:

$0=\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho dV+\underset{S}{\int }\rho ({\overrightarrow{v}}_m\cdot d\overrightarrow{S})\Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }dm=-\underset{S}{\int }\rho v_{m}dS$

$\frac{\partial m}{\partial t}=-\underset{S}{\int }\rho v_{m}dS$

Assim,

$-mg=0+v_m\frac{dm}{dt}+a\underset{C}{\int }\rho dV\Rightarrow -mg=v_m\frac{dm}{dt}+am$

$-(m_0+\frac{dm}{dt}t)g=v_m\frac{dm}{dt}+a(m_0+\frac{dm}{dt}t)\Rightarrow a=-\frac{v_m\frac{dm}{dt}}{m_0+\frac{dm}{dt}t}-g$

$a(0)=-\frac{v_m\frac{dm}{dt}}{m_0}-g=-\frac{3500m/s(-5m/s)}{400kg}-9.8m/s^2$

$=34m/s^2$

Para encontrar a velocidade v_f do foguete, basta integrar a equação

$a=\frac{d{v}_f}{dt}\Rightarrow -\frac{v_m\frac{dm}{dt}}{m_0+\frac{dm}{dt}t}-g=\frac{d{v}_f}{dt}$

$d{v}_f=-\frac{v_m\frac{dm}{dt}dt}{m_0+\frac{dm}{dt}t}-gdt$

$\underset{0}{\overset{v_f}{\int }}d{v}_f=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{v_m\frac{dm}{dt}dt}{m_0+\frac{dm}{dt}t}-\underset{0}{\overset{t}{\int }}gdt$

$v_f=-v_m\cdot \ln {(m_0+\frac{dm}{dt}t)|}_0^t-gt=-v_m\ln \left(\frac{m_0+\frac{dm}{dt}t}{m_0}\right)-gt$

$v_f(10)=-3500m/s\cdot \ln \left(\frac{400kg-5kg/s\cdot 10s}{400kg}\right)-9.8m/s^2\cdot 10s$

$=370m/s$