Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C3

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Enunciado

Água flui em um canal aberto de 3 m de diâmetro a uma velocidade de 0.5 m/s até atingir uma parede vertical com uma abertura de diâmetro igual a 0.4 m localizada na sua base. Comparar a força exercida pelo líquido sobre a parede nessas condições e quando a abertura está fechada por uma comporta.

Dados do problema

D1	3 m
D2	0.4 m
ventra	0.5 m/s
F1	a calcular
F2	a calcular

ρ = 1000 kg/m³

Solução

Como se trata de um canal livre, é mais fácil usar pressões manométricas. Seja F₁ a força sobre a parede com a comporta fechada e F₂ a força sobre a parede com a comporta aberta. No primeiro caso, apenas forças hidrostáticas estão presentes, e v_entra = v_sai = 0. Assim,

$F_1=F_{H1}=p_{c1}{A}_{V1}=(\rho g{h}_{c1})(\pi \frac{D_1^2}{4})=(\rho g\frac{D_1}{2})\left(\pi \frac{D_1^2}{4}\right)$

onde p_c1 é a pressão no centro geométrico da parede e h_c1 é a profundidade desse centro. Logo,

$F_{H1}=\pi \rho g\frac{D_1^3}{8}=3.1\cdot 1000kg/m\cdot 9.8m/s^2\cdot \frac{(3m{)}^3}{8}=103000N$

Para calcular F₂, apliquemos a equação da continuidade e a lei de conservação do momento linear sobre o volume de controle escolhido de forma a contornar o canal antes e depois da comporta:

$\frac{\partial }{\partial t}{\int }_C\rho dV+{\int }_S\rho (\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})=0$

$\overrightarrow{F}=\frac{\partial }{\partial t}{\int }_C\rho vdV+{\int }_S\rho \overrightarrow{v}(\overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S})$

Como o fluido é incompressível e as velocidades são constantes

$0+\rho (-v_{entra}{A}_{entra}+v_{sai}{A}_{sai})=0\Rightarrow v_{sai}=\frac{v_{entra}{A}_{entra}}{A_{sai}}$

$\overrightarrow{F}=0+\rho (-v_{entra}^2{A}_{entra}+v_{sai}^2{A}_{sai}){\overrightarrow{u}}_x=\rho (-v_{entra}^2{A}_{entra}+{\left(\frac{v_{entra}{A}_{entra}}{A_{sai}}\right)}^2{A}_{sai}){\overrightarrow{u}}_x$

$\overrightarrow{F}=\rho v_{entra}^2{A}_{entra}(\frac{A_{entra}}{A_{sai}}-1){\overrightarrow{u}}_x=\rho v_{entra}^2\pi \frac{D_1^2}{4}(\frac{D_1^2}{D_2^2}-1){\overrightarrow{u}}_x$

Essa é a força total exercida sobre o fluido; uma parte se deve às forças hidrostáticas e a outra, à ação da parede.

$\overrightarrow{F}={\overrightarrow{F}}_H+{\overrightarrow{F}}_p\Rightarrow {\overrightarrow{F}}_p=\overrightarrow{F}-{\overrightarrow{F}}_H$

A maneira mais fácil de calcular a força hidrostática total F_H é considerar a situação da comporta fechada, calcular a força hidrostática exercida sobre a abertura e a força exercida na parede inteira, e fazer a subtração.

${\overrightarrow{F}}_H={\overrightarrow{F}}_{H1}-{\overrightarrow{F}}_{H2}=p_{c1}{A}_{V1}{\overrightarrow{u}}_x-p_{c2}{A}_{V2}{\overrightarrow{u}}_x=(\rho g{h}_{c1}{A}_{V1}-\rho g{h}_{c2}{A}_{V2}){\overrightarrow{u}}_x$

${\overrightarrow{F}}_H=\rho g(\frac{D_1}{2}\pi \frac{D_1^2}{4}-(D_1-\frac{D_2}{2})\pi \frac{D_2^2}{4}){\overrightarrow{u}}_x$

${\overrightarrow{F}}_H=\pi \rho g(\frac{D_1^3}{8}-\frac{D_1{D}_2^2}{4}+\frac{D_2^3}{8}){\overrightarrow{u}}_x$

Assim:

${\overrightarrow{F}}_p=\overrightarrow{F}-{\overrightarrow{F}}_H=\rho v_{entra}^2\pi \frac{D_1^2}{4}(\frac{D_1^2}{D_2^2}-1){\overrightarrow{u}}_x-\pi \rho g(\frac{D_1^3}{8}-\frac{D_1{D}_2^2}{4}+\frac{D_2^3}{8}){\overrightarrow{u}}_x$

${\overrightarrow{F}}_p=\rho \pi [v_{entra}^2\frac{D_1^2}{4}(\frac{D_1^2}{D_2^2}-1)-g(\frac{D_1^3}{8}-\frac{D_1{D}_2^2}{4}+\frac{D_2^3}{8})]{\overrightarrow{u}}_x$

$=1000kg/m^3\cdot 3.1\cdot [(0.5m/s{)}^2\cdot \frac{(3m{)}^2}{4}(\frac{(3m{)}^2}{(0.4m{)}^2}-1)-$

$-9.8m/s^2\cdot (\frac{(3m{)}^3}{8}-\frac{3m\cdot (0.4m{)}^2}{4}+\frac{(0.4m{)}^3}{8})]{\overrightarrow{u}}_x$

$=-2790N{\overrightarrow{u}}_x$

A força exercida pelo líquido sobre a parede é igual e de sentido contrário: $2790N{\overrightarrow{u}}_x$. Predefinição:AutoCat