Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C2

Teoria
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Enunciado

Uma torneira redutora em L tem área de 0.01 m² na entrada e 0.0025 m² na saída. A pressão da água na entrada é de 220k Pa (absoluta) e a velocidade na saída é de 16 m/s. A saída de água é livre, ou seja, a torneira descarrega na atmosfera. Determine as forças que atuam sobre a torneira, considerando que seu volume é de 250 cm³ e seu peso, 400 g.

Dados do problema

A_entra	0.01 m²
A_sai	0.0025 m²
p_entra	220k Pa
p_sai	1 atm
v_sai	16 m/s
m_t	400 g
V_t	250 cm₃
F_t	a calcular

ρ = 1000 kg/m³

1 atm = 100k Pa

Solução

Escolhamos o interior da torneira como o volume de controle C a ser considerado. Escolhamos ainda o sistema de coordenadas com o eixo X na direção horizontal do fluxo e o eixo Y na direção vertical, e apliquemos a equação de continuidade e a equação de conservação do momento linear na sua forma integral:

equação de continuidade

\frac{\partial}{\partial t} \int_{C} ρ d V + \int_{S} ρ \vec{v} \cdot d \vec{S} = 0

Como o fluido é incompressível, ρ é uma constante

0 + ρ (v_{s a i} A_{s a i} - v_{e n t r a} A_{e n t r a}) = 0 \Rightarrow v_{s a i} A_{s a i} = v_{e n t r a} A_{e n t r a} \Rightarrow v_{e n t r a} = \frac{v_{s a i} A_{s a i}}{A_{e n t r a}}

equação de conservação do momento linear

\frac{\partial}{\partial t} \int_{C} ρ \vec{v} d V + \int_{S} ρ \vec{v} (\vec{v} \cdot d \vec{S}) = {\vec{F}}_{f l u x o}

Como ρ e v são constantes dentro da torneira e só existe fluxo nas superfícies de entrada e de saída,

0 + ρ (\int_{A e n t r a} \vec{v} (\vec{v} \cdot d \vec{S}) + \int_{A s a i} \vec{v} (\vec{v} \cdot d \vec{S})) = {\vec{F}}_{f l u x o}

ρ (- v_{e n t r a}^{2} A_{e n t r a} {\vec{u}}_{x} - v_{s a i}^{2} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}) = {\vec{F}}_{f l u x o}

ρ (- {(\frac{v_{s a i} A_{s a i}}{A_{e n t r a}})}^{2} A_{e n t r a} {\vec{u}}_{x} - v_{s a i}^{2} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}) = {\vec{F}}_{f l u x o}

ρ (- \frac{v_{s a i}^{2} A_{s a i}^{2}}{A_{e n t r a}} {\vec{u}}_{x} - v_{s a i}^{2} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}) = {\vec{F}}_{f l u x o}

A força F_fluxo cancela o momento que o fluxo possui no sentido horizontal e adiciona momento na direção vertical negativa (ou seja, para baixo). Ela, no entanto, é a força que a torneira exerce sobre o fluxo. A força exercida pelo fluxo sobre a torneira será, evidentemente, igual e de sentido contrário. É preciso ainda considerar o peso da água e da torneira e as forças hidrostáticas.

peso da água e da torneira

{\vec{F}}_{w} = - w_{t} {\vec{u}}_{y} - w_{a g u a} {\vec{u}}_{y} = - m_{t} g {\vec{u}}_{y} - ρ V_{t} g {\vec{u}}_{y}

forças hidrostáticas

{\vec{F}}_{h} = p_{e n t r a} A_{e n t r a} {\vec{u}}_{x} + p_{s a i} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}

considerando que as pressões consideradas são manométricas. Assim, as forças sobre a torneira podem ser escritas

{\vec{F}}_{t} = - {\vec{F}}_{f l u x o} + {\vec{F}}_{w} + {\vec{F}}_{h}

= ρ (\frac{v_{s a i}^{2} A_{s a i}^{2}}{A_{e n t r a}} {\vec{u}}_{x} + v_{s a i}^{2} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}) - m_{t} g {\vec{u}}_{y} - ρ V_{t} g {\vec{u}}_{y} + p_{e n t r a} A_{e n t r a} {\vec{u}}_{x} + p_{s a i} A_{s a i} {\vec{u}}_{y}

= (ρ \frac{v_{s a i}^{2} A_{s a i}^{2}}{A_{e n t r a}} + p_{e n t r a} A_{e n t r a}) {\vec{u}}_{x} +

+ (ρ v_{s a i}^{2} A_{s a i} - m_{t} g - ρ V_{t} g + p_{s a i} A_{s a i}) {\vec{u}}_{y}

= (1000 k g / m^{3} \cdot \frac{(16 m / s)^{2} \cdot (0.0025 m^{2})^{2}}{0.01 m^{2}} + (220000 - 100000) P a \cdot 0.01 m^{2}) {\vec{u}}_{x} +

+ (1000 k g / m^{3} \cdot (16 m / s)^{2} \cdot 0.0025 m^{2} - 0.4 k g \cdot 9.8 m / s^{2} - 1000 k g / m^{3} \cdot 0.00025 m^{3} \cdot 9.8 m / s^{2} + 0) {\vec{u}}_{y}

= (1360 {\vec{u}}_{x} + 612 {\vec{u}}_{y}) N

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