Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/C1

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Enunciado

Um tanque, cujo volume é igual a 0.05 m³, contem ar inicialmente à pressão de 800k Pa (absoluta) e temperatura de 15 °C. Uma válvula, cuja abertura é de 65 mm², é aberta e o ar começa a escapar a uma velocidade de 300m/s e uma densidade de 6 kg/m³. Calcular a taxa de variação da densidade no interior do tanque em t = 0.

Dados do problema

V	0.05 m3
pi	800k Pa
Ti	15 °C
Asai	65 mm2
ρsai	6 kg/m3
vsai	300 m/s

A calcular: $\frac{d\rho }{dt}$ em t = 0

Solução

Uma vez que o ar escapa do tanque, este não pode ser considerado como um sistema. Escolhamos o tanque como o volume de controle C a ser considerado e apliquemos a equação de continuidade na sua forma integral:

$\frac{\partial }{\partial t}\underset{C}{\int }\rho dV+\underset{S}{\int }\rho \overrightarrow{v}\cdot d\overrightarrow{S}=0$

$\frac{\partial }{\partial t}\left[\rho \underset{C}{\int }dV\right]+{\rho }_{sai}\underset{S}{\int }vdA=0$

uma vez que assumimos que a densidade é uniforme dentro do corpo C e também na válvula de saída. Como a velocidade também é uniforme na saída,

$\frac{\partial }{\partial t}\rho V+{\rho }_{sai}{v}_{sai}{A}_{sai}=0$

O produto ρ_sai x v_sai x A_sai é positivo, pois é direcionado para fora do volume de controle. Assim,

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{{\rho }_{sai}{v}_{sai}{A}_{sai}}{V}$

pois o volume V é constante. Portanto,

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\frac{6kg/m^3\cdot 300m/s\cdot 65m{m}^2}{0.05m^3}=-\frac{6kg/m^3\cdot 300m/s\cdot 0.000065m^2}{0.05m^3}$

$=-2.34kg/m^3.s$