Mecânica dos fluidos/Exercícios resolvidos/B3

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Enunciado

Derivar a fórmula para a altura da linha d'água h_a de um navio parcialmente submerso em um fluido de densidade ρ, em função do seu peso w e da geometria do casco. Aproximar este por um prisma triangular regular reto de comprimento l_p e altura h_p, terminado nas duas extremidades por um tetraedro regular.

Solução

O peso do navio deve ser equilibrado pelo empuxo, que por sua vez é dado por

$w=\rho g{V}_c\Rightarrow V_c=\frac{w}{\rho g}$

onde V_c é o volume de carena. Precisamos expressá-lo em função da distância da linha d'água até o fundo do casco h_a:

$V_c=V_{c1}+2\cdot V_{c2}$

onde V_c1 é o volume submerso do prisma e V_c2, o volume submerso de cada tetraedro. A parte submersa do prisma é um prisma de altura h_a; assim: Predefinição:Wikipedia

$V_{c1}=\frac{1}{2}\cdot l_p\cdot h_a\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}{h}_a=\frac{l_p{h}_a^2}{\sqrt{3}}$

O volume submerso de cada tetraedro é um tetraedro de lado l_t; assim: Predefinição:Wikipedia

$V_{c2}=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot l_t^3$

Mas

$h_a=\frac{\sqrt{6}}{3}\cdot l_t\Rightarrow l_t=\frac{3h_a}{\sqrt{6}}$

Assim

$V_{c2}=\frac{\sqrt{2}}{12}\cdot {\left(\frac{3h_a}{\sqrt{6}}\right)}^3=\frac{3h_a^3}{8\sqrt{3}}$

Portanto

$\frac{w}{\rho g}=\frac{l_p{h}_a^2}{\sqrt{3}}+2\cdot \frac{3h_a^3}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}(l_p{h}_a^2+\frac{3h_a^3}{4})$

Deve-se resolver a equação acima para encontrar o valor de h_a. Se esse valor for superior a h_p, o navio não poderá flutuar.

Predefinição:AutoCat