Mecânica Newtoniana/Trajetórias e geometria diferencial

Elementos de geometria diferencial de curvas.

Trajetórias são curvas no espaço tridimensional. Para melhorar nosso arsenal de terminologia e objetos matemáticos à disposição para tratar trajetórias, vamos fazer uma incursão brevíssima sobre os capítulos introdutórios da geometria diferencial. Imagine que, a partir de certa posição inicial ${\overrightarrow{x}}_0$ deixemos transcorrer um intervalo de tempo infinitesimal dt. Neste intervalo de tempo, a variação no vetor posição será dada por:

$d\overrightarrow{x}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}dt=\overrightarrow{v}dt$

A distância percorrida neste pequeno intervalo de tempo será então dada por:

$d{s}^2=d\overrightarrow{x}\cdot d\overrightarrow{x}=|\overrightarrow{v}{|}^{2}d{t}^2$

Logo, a distância entre dois pontos separados por uma distância finita na trajetória de um corpo puntual é dada por:

$s({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_2)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ds=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}\left|\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}\right|dt=\underset{t_{!}}{\overset{t_2}{\int }}|\overrightarrow{v}|dt$

Podemos usar para para parametrizar a trajetória a função $s(t)=s(\overrightarrow{x}(t),{\overrightarrow{x}}_0)$ com ${\overrightarrow{x}}_0$ um certo ponto inicial sobre a trajetória. Dessa forma podemos escrever a trajetória da forma:

$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{x}(s)$

Vamos definir então o vetor $\overrightarrow{\tau }$ como:

$\overrightarrow{\tau }=\frac{d\overrightarrow{x}}{ds}$

Este vetor aponta sempre na direção tangente à trajetória, e será denominado simplesmente vetor tangente. O vetor tangente tem módulo unitário:

$\overrightarrow{\tau }\cdot \overrightarrow{\tau }=\frac{d\overrightarrow{x}\cdot d\overrightarrow{x}}{d{s}^2}=\frac{d{s}^2}{d{s}^2}=1$

Repare que o vetor $\overrightarrow{\tau }$ varia ao longo da trajetória e é, portanto, um função do tempo. Note que a velocidade é dada por:

$\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{x}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{v}}{ds}\frac{ds}{dt}=v(t)\overrightarrow{\tau }$

e portante é sempre paralela ao vetor tangente. A quantidade:

$v(t)=\frac{ds}{dt}$

é a distância percorrida por unidade de tempo sobre a trajetória, comumente denominada nos livros de Física do Ensino Médio de velocidade escalar instantânea. A partir desse resultado podemos escrever então:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(v(t)\overrightarrow{\tau })=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau }+v^2\frac{d\overrightarrow{\tau }}{ds}.$

Vamos definir neste ponto o que denominaremos vetor de curvatura:

$\overrightarrow{k}=\frac{d\overrightarrow{\tau }}{ds}.$

O vetor de curvatura é perpendicular ao vetor tangente, como podemos facilmente deduzir da expressão para o módulo de $\overrightarrow{\tau }$:

$\frac{d(\overrightarrow{\tau }\cdot \overrightarrow{\tau })}{ds}=0⟹\overrightarrow{\tau }\cdot \frac{d\overrightarrow{\tau }}{ds}=0.$

Definimos a função curvatura $k(s)$ de uma curva espacial como o módulo do vetor de curvatura $\overrightarrow{k}$. A razão dessa definição é que o inverso da curvatura é exatamente igual ao inverso do raio do círculo osculante à curva no ponto $\overrightarrow{x}(s)$, ou seja, do círculo que melhor aproxima o trecho infinitesimal da curva em torno deste ponto. Escrevendo de forma explícita:

$k(s)=\frac{1}{R(s)}.$

$R(s)$ também é denominado raio de curvatura no ponto $\overrightarrow{x}(s)$. O vetor unitário associado a $\overrightarrow{k}$ é perpendicular à tangente da trajetória e é denominado vetor normal:

$\overrightarrow{n}=\frac{1}{k}\overrightarrow{k}.$

Este vetor é unitário, perpendicular à tangente da curva e aponta sempre na direção do centro do círculo osculante.

Acelerações centrípeta e tangencial.

A expressão para a aceleração pode ser escrita na forma:

$\overrightarrow{a}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau }+v^2\frac{d\overrightarrow{\tau }}{ds}=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau }+v^2\frac{1}{R}\overrightarrow{n}$

A aceleração pode ser, portanto, separada em duas contribuições, a aceleração tangencial:

${\overrightarrow{a}}_t=\frac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau },$

e a aceleração centrípeta:

${\overrightarrow{a}}_c=\frac{v^2}{R}\overrightarrow{n}$

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