Matemática elementar/Plano de Argand-Gauss/Raízes complexas

Considere uma expressão do tipo xⁿ = a + bi. Para um índice n, como podem ser calculadas as soluções para a expressão? Este problema pode ser aplicado, por exemplo, em

• x² = 4
• x³ = 2 + i
• x⁴ = 3i

O método para encontrarmos os valores de xⁿ que se igualem a a + bi consiste em aplicar valores ao plano de Argand-Gauss. Para isto, você deve saber que Predefinição:Ênfase

As raízes quintas de 1 no plano de Argand-Gauss originam um pentágono regular.

A partir disto, podemos chegar às seguintes conclusões:

• Se n é ímpar, haverá, no máximo, uma raiz real (pois não poderá haver um segundo vértice oposto ao primeiro no eixo real);
• Se n é par, o número de raízes reais é par (pois obrigatoriamente haverá um segundo vértice oposto ao primeiro).

Neste caso, seria representado um quadrado, e portanto, quatro raízes.

Além disso, a distância entre um vértice e outro é constante (por tratar-se de um polígono regular). Então podemos dizer que a partir de um vértice A neste plano, os pontos seguintes serão parte de uma progressão aritmética, onde a soma de n distâncias deve completar o círculo. Portanto, a diferença d, em radianos, entre um vértice e outro é dada por

$d=\frac{2\pi }{n}$

Introduzindo o conceito de progressão aritmética, temos que a_x = a₁ + (x - 1)r em que x é o termo da progressão. Então:

$a_x=a_1+(x-1)\frac{2\pi }{n}$

Pelo fato de x ter de ser um número natural diferente de zero, o resultado de (x - 1) é, obrigatoriamente, maior ou igual a zero. Como nos interessa determinar todas as raízes da expressão, devemos substituir x por cada n. Desta forma, o primeiro (x - 1) da nossa progressão será zero, o segundo igual a 1, o terceiro igual a 2, e assim sucessivamente. Substituiremos, então, x - 1 por k, que é o número natural que determinará cada raiz, para k < n:

$a_x=a_1+\frac{k2\pi }{n}$

Se neste plano o ponto (A,B) representa o primeiro vértice de um polígono no primeiro quadrante, então α é o argumento.

Nestes casos, o nosso termo a₁ é o quociente entre o argumento θ e n (representa o ângulo entre o eixo real e a semirreta que une a origem e o primeiro vértice do primeiro quadrante). Representaremos o conceito de raíz por z_k em vez de a_x. As coordenadas de cada vértice são determinadas a partir do valor absoluto. A parte real é calculada pelo cosseno, enquanto a parte imaginária pelo seno. As coordenadas (Re, Im) devem ser iguais, pelo fato de a distância entre o lugar geométrico e os vértices do polígono serem constantes:

$z_k=\cos \frac{\theta +k2\pi }{n}+\sin \frac{\theta +k2\pi }{n}i$

Falta-nos determinar o apótema de nosso polígono (raio do círculo), que introduzido na fórmula:

$z_k=\sqrt[n]{r}(\cos \frac{\theta +k2\pi }{n}+\sin \frac{\theta +k2\pi }{n}i)$

Para r o valor absoluto da expressão.

A fórmula gerada chama-se segunda fórmula de Moivre.

Exemplo 1

• Primeiramente, transformaremos o monômio para a forma a + bi:

$\{\begin{array}{c}a=-8\\ b=0\end{array}$

• Calcularemos o valor absoluto (r):

$r=\sqrt{-8^2+0^2}=8$

• Agora podemos descobrir o argumento (θ):

$-8=8\cos \theta \to \theta =\arccos -1\to \theta =\pi$

• Temos que n = 3 (pois a raiz é cúbica). Como {k ∈ N| 0 ≤ k < n}, a nossa progressão terá k=0, k=1 e k=2. Iniciaremos por k=0, através da segunda lei de Moivre:

$z_0=\sqrt[3]{8}(\cos \frac{\pi +0\times 2\pi }{3}+\sin \frac{\pi +0\times 2\pi }{3}i)=2(\cos \frac{\pi }{3}+\sin \frac{\pi }{3}i)=1+\sqrt{3}i$

• Para k=1:

$z_1=\sqrt[3]{8}(\cos \frac{\pi +1\times 2\pi }{3}+\sin \frac{\pi +1\times 2\pi }{3}i)=2(\cos \pi +\sin \pi i)=-2$

• E para k=2:

$z_2=\sqrt[3]{8}(\cos \frac{\pi +2\times 2\pi }{3}+\sin \frac{\pi +2\times 2\pi }{3}i)=2(\cos \frac{5\pi }{3}+\sin \frac{5\pi }{3}i)=1-\sqrt{3}i$

Portanto, os valores de x são -2, 1 + Predefinição:Mathi e 1 - Predefinição:Mathi.

Exemplo 2

• Na forma a + bi teremos:

$\{\begin{array}{c}a=1\\ b=\sqrt{3}\end{array}$

• E o valor absoluto:

$r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$

• Teremos o argumento:

$1=2\cos \theta \to \theta =\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$

• As raízes serão dadas por k=0 e k=1 através da segunda fórmula de Moivre:

$z_0=\sqrt[2]{2}(\cos \frac{\frac{\pi }{3}+0\times 2\pi }{2}+\sin \frac{\frac{\pi }{3}+0\times 2\pi }{2}i)=\sqrt[2]{2}(\cos \frac{\pi }{6}+\sin \frac{\pi }{6}i)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}i}{2}$

$z_1=\sqrt[2]{2}(\cos \frac{\frac{\pi }{3}+1\times 2\pi }{2}+\sin \frac{\frac{\pi }{3}+1\times 2\pi }{2}i)=\sqrt[2]{2}(\cos \frac{7\pi }{6}+\sin \frac{7\pi }{6}i)=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}i}{2}$

Que são os valores de x.

Exemplo 3

• Vemos que o valor absoluto da expressão é igual a 1, então

$r=\sqrt{a^2+b^2}=1$

• Observa-se, também, que a primeira raiz do primeiro quadrante localiza-se sobre o eixo real, logo, o argumento é igual a zero:

$\{\begin{array}{c}a=\cos 0\\ b=\sin 0\end{array}$

• Sabemos que o cosseno de zero é igual a 1, e o seno de zero igual a zero. Observamos, também, que n = 6 (pois o polígono tem seis lados). Concluímos que a expressão representada no plano é x⁶ = 1.

Predefinição:AutoCat